Question

Даны векторы a={2; -1; 1} и b={2; -3; 6} найти вектор единичной длины, перпендикулярный этим двум векторам.

Answer 1

В общем по-быстрому у меня получилось так.

Ищем вектор g c координатами (x, y, z).
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0. следовательно можно записать два уравнения:
$(a, g)=2 \cdot x-1 \cdot y+1 \cdot z=0 \\ (b, g)=2 \cdot x-3 \cdot y+6 \cdot z=0$  [1]

3-е уравнение составляем исходя из того, что модуль вектора g равен 0.
$\sqrt{ x^{2} + y^{2} + z^{2} } =1 \\ \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} =1$
[2]
Решаем систему. 
$2x-y+z=0 \\ 2x-3y+6z=0 \\ x^{2} +y^2+z^2=1$ [3]
Из 1-го и 2-го уравнений системы [3] можно выразить x через z и y через z.
$y=- \frac{5}{2}z \\ \\ x=- \frac{3}{4}z$
Подставим это в 3-е уравнение [3]
$(\frac{3}{4} z)^2 +(-\frac{5}{2} z)^2+z^2=1 \\ \\ \frac{9}{16} z^2 +\frac{25}{4} z^2+z^2=1 \\ \\ z^2( \frac{9+100+16}{16} )=1 \\ \\ z^{2} = \frac{16}{125 } \\ \\ z= \pm \frac{4}{5 \sqrt{5} }$
Далее находим x, y
$x= \frac{3}{4} z= \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{3}{5\sqrt{5}} \\ \\ y= -\frac{5}{2} z=-\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5\sqrt{5}} =- \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \\$
Соответственно искомый вектор g имеет координаты
$g=( \frac{3}{5\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{5\sqrt{5}} ) \\ \\ OR \\ \\ g=( -\frac{3}{5\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{4}{5\sqrt{5}} )$