Question

Solve equation: sin x + sin 3x = sin 2x

Answer 1

Можно sin(3x) разложить:
sin(3x)  = 3sin(x) - 4sin³(x) .
Подставим в исходное уравнение:
sin(x) + 3sin(x) - 4sin³(x) = sin(2x),
4sin(x) - 4sin³(x) - 2sin(x)*cos(x) = 0,
4sin(x)(1 - sin²(x)) - 2sin(x)*cos(x) = 0.  
Сократим на 2 и заменим (1 - sin²(x)) = cos²(x).
2sin(x)*cos²(x) - sin(x)*cos(x) = 0.  
Вынесем за скобки sin(x)*cos(x),
sin(x)*cos(x)*(2cos(x) - 1) = 0.  
Отсюда получаем решение:
sin(x) = 0.  
х = πk, k ∈ Z,
cos(x) = 0,
x = (π/2) + πk, k ∈ Z,
cos(x) = 1/2,
x = (-π/3) + 2πk, k ∈ Z,
cos(x) = 1/2,
x = (π/3) + 2πk, k ∈ Z.

ответ:
х = πk, k ∈ Z,
x = (π/2) + πk, k ∈ Z,
x = (-π/3) + 2πk, k ∈ Z,
x = (π/3) + 2πk, k ∈ Z.

Answer 2

Воспользуемся формулой переобразования суммы в произведение:

sin3x + sinx = 2sin((3x + x)/2)*cos((3x-x)/2) = 2sin2x*cosx

Подставим в изначальное уравнение:

2sin2x*cosx = sin2x

2sin2x*cosx - sin2x = 0

sin2x(2cosx - 1) = 0

sin2x = 0   2x = пи*k  x = пи*k/2, k принадлежит Z

2cosx - 1 = 0  cosx = 1/2  x=+-(пи/3) + 2пи*k, k принадлежит Z

ответ: пи*k/2, +-(пи/3) + 2пи*k, k принадлежит Z