Question

Решите систему уравнений xy=5, x+y/x-y+x-y/x+y=13/6

Answer 1

Применены подстановки,  правила действий с алгебраическими дробями

Answer 2

$\left \{ {{xy=5} \atop { \frac{x + y}{x - y} + \frac{x - y}{x + y} = \frac{13}{6}}} \right.$
$\left \{ {{xy=5} \atop { \frac{(x + y)^{2}}{(x - y)(x + y)} + \frac{(x - y)^{2}}{(x + y)(x - y)} = \frac{13}{6}}} \right.$
$\left \{ {{xy=5} \atop {\frac{(x + y)^{2} + (x - y)^{2}}{(x - y)(x + y)} = \frac{13}{6}}} \right.$
$\left \{ {{xy=5} \atop {\frac{x^{2} + 2xy + y^{2} + x^{2} - 2xy + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} = \frac{13}{6}}} \right.$
$\left \{ {{xy=5} \atop {\frac{2x^{2} + 2y^{2}}{x^{2} - y^{2}} = \frac{13}{6}}} \right.$
$\left \{ {{xy=5} \atop {(2x^{2} + 2y^{2}) * 6 = 13 * (x^{2} - y^{2})} \right.$
$\left \{ {{xy=5} \atop {12x^{2} + 12y^{2} = 13x^{2} - 13y^{2}<img src=$} \right." alt=" \left \{ {{xy=5} \atop {25y^{2} = x^{2}} \right." />} \right." />
$\left \{ {{x = \frac{5}{y} } \atop {25y^{2} = x^{2}} \right.$
$\left \{ {{x = \frac{5}{y} } \atop {25y^{2} = \frac{5}{y}^{2}} \right.$
$\left \{ {{x = \frac{5}{y} } \atop {25y^{2} - \frac{5}{y}^{2}= 0} \right.$
$\left \{ {{x = \frac{5}{y} } \atop {(5y - \frac{5}{y})(5y + \frac{5}{y}) = 0} \right.$
$\left \{ {{x = \frac{5}{y} } \atop {\frac{5y^{2} - 5}{y}\frac{5y^{2} + 5}{y} = 0} \right.$
По второму уравнению видим, что один из множителей должен быть равен 0, то есть либо $\frac{5y^{2} - 5}{y}$ = 0, либо $\frac{5y^{2} + 5}{y}$ = 0. В первом случае мы получим следующее:
$\frac{5y^{2} - 5}{y}$ = 0
$5y^{2} - 5 = 0$
$5y^{2} = 5$
$y^{2} = 1$
Значит y = 1 или -1.
А во втором случае, аналогично, получим, что $y^{2} = -1$, а квадрат любого числа не может быть равен отрицательному числу. 
Значит y = 1 или -1. Осталось найти x. Его мы можем найти по формуле $x = \frac{5}{y}$. => Если y = 1, то x = 5, а если y = -1, то x = -5.