Question

Вычислите площадь фигуры , обделённую линиями y=-x^2-4x ,y=4+x

Answer 1

Найдем точки пересечения параболы и прямой:
$4+x=-x^2-4x \\ x^2+5x+4=0 \\ (x+1)(x+4)=0 \\ x_1=-4,x_2=-1$
Площадь , заключенная между функциями f1 и f2 равна:
$\int\limits^{x_2}_{x_1} ({f_2(x)-f_1(x))} \, dx$
где f2 - это верхняя, а f1 - нижняя из функций. В нашем случае f2-это парабола, обращенная ветвями вниз, а нижняя - это прямая, отсекающая от параболы выпуклую составляющую, содержащую вершину параболы. См рисунок.
$S= \int\limits^{-1}_{-4} {(-x^2-4x-x-4)} \, dx= -\int\limits^{-1}_{-4} {(x^2+5x+4)} \, dx= \\ =-[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} +4x]\limits^{-1}_{-4}=-[-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-4+ \frac{64}{3} -40+16]=27\frac{1}{2}-\frac{63}{3}= \\ =6\frac{1}{2}$