Question

Решите неравенства: 1)√x+2> =3 2)√7-3x> 5 3)√2x+1> -3 4)√3+2x> =√x+1 5)√8-2x< =√6x+15 6)2^x< 1/8 7)(0,2)^x< =-0,2 8)(1/3)^x> =9

Answer 1

Так как в условии непонятно, что стоит под корнем, привожу на каждый пример несколько решений с наиболее вероятными условиями
1) a)
$\sqrt{x+2} \geq 3 \\ \\ \left \{ {{x+2 \geq 0} \atop {( \sqrt{x+2} )^2 \geq 3^2}} \right. ; \left \{ {{x \geq -2} \atop {x+2 \geq 9}} \right. ; \left \{ {{x \geq -2} \atop {x \geq 7}} \right.$
ответ:   x ∈ [7; +∞)

b) $\sqrt{x} +2 \geq 3$
$\left \{ {{x \geq 0} \atop { \sqrt{x} +2 \geq 3}} \right. ; \left \{ {{x \geq 0} \atop { \sqrt{x} \geq 1}} \right. ; \left \{ {{x \geq 0} \atop {x \geq 1}} \right.$
ответ:   x ∈ [1; +∞)
-----------------------------------------------------------
2) a)
$\sqrt{7-3x} \ \textgreater \ 5 \\ \left \{ {{7-3x \geq 0} \atop {( \sqrt{7-3x} )^2\ \textgreater \ 5^2}} \right. ; \left \{ {{-3x \geq -7} \atop {7-3x\ \textgreater \ 25}} \right. ; \left \{ {{x \leq 7/3 } \atop {-3x\ \textgreater \ 18}} ; \left \{ {{x \leq 2 \frac{1}{3} } \atop {x\ \textless \ -6 }} \right. \right.$
x ∈ (-∞; -6)

b) (√7) -3x > 5;   -3x > 5 - √7;  x < (√7 - 5)/3
ответ:   x ∈ (-∞; $\frac{ \sqrt{7}-5 }{3}$)
----------------------------------------------------------
3) a)
$\sqrt{2x+1} \ \textgreater \ -3$ 
Арифметический квадратный корень всегда больше отрицательного числа, поэтому нужно проверить только ОДЗ
2x +1 ≥ 0;   2x ≥ -1;   x ≥ -0,5
ответ:   x ∈ [-0,5; +∞)

b) $\sqrt{2x} +1\ \textgreater \ -3; \sqrt{2x} \ \textgreater \ -4$
Арифметический квадратный корень больше отрицательного числа. Проверка ОДЗ
2x ≥ 0;   x ≥ 0
ответ:   x ∈ [0; +∞)
--------------------------------------------------------------
4) a)
$\sqrt{3+2x} \geq \sqrt{x+1}$
Проверка ОДЗ
$\left \{ {{3+2x \geq 0} \atop {x+1 \geq 0}} \right. ; \left \{ {{2x \geq -3} \atop {x \geq -1}} \right. ; \left \{ {{x \geq -1,5} \atop {x \geq -1}} \right.$
ОДЗ: x ≥ -1
$\left \{ {{x \geq -1} \atop { (\sqrt{3+2x} )^2} \geq ( \sqrt{x+1} )^2} \right. ; \left \{ {{x \geq -1} \atop {3+2x \geq x+1}} \right. ; \left \{ {{x \geq -1} \atop {x \geq -2}} \right.$
ответ:   x ∈ [-1; +∞)

b)
$\sqrt{3+2x} \geq \sqrt{x} +1 \\ ( \sqrt{3+2x} )^2 \geq ( \sqrt{x} +1)^2 \\ 3+2x \geq x+2 \sqrt{x} +1 \\ x +2 \geq 2 \sqrt{x} ;(x+2)^2 \geq (2 \sqrt{x} )^2;$
x² + 4x + 4 ≥ 4x;    x² + 4 ≥ 0;   
x² ≥ -4   Справедливо для всех х
Проверка ОДЗ
$\left \{ {{3+2x \geq 0} \atop {x \geq 0}} \right. ; \left \{ {{2x \geq -3} \atop {x \geq 0}} \right. ; \left \{ {{x \geq -1,5} \atop {x \geq 0}} \right.$
ответ:   x ∈ [0; +∞)
-----------------------------------------------------------
5) a)
$\sqrt{8-2x} \leq \sqrt{6x+15}$
Проверка ОДЗ
$\left \{ {{8-2x \geq 0} \atop {6x+15 \geq 0}} \right. ; \left \{ {{-2x \geq -8} \atop {6x \geq -15}} \right. ; \left \{ {{x \leq 4} \atop {x \geq -2,5}} \right.$
ОДЗ:   -2,5 ≤ x ≤ 4
$\left \{ {{-2,5 \leq x \leq 4} \atop {( \sqrt{8-2x} )^2} \leq ( \sqrt{6x+15} )^2} \right. ; \left \{ {{-2,5 \leq x \leq 4} \atop {8-2x \leq 6x+15}} \right. ; \left \{ {{-2,5 \leq x \leq 4} \atop {-8x \leq 7}} \right. ; \left \{ {{-2,5 \leq x \leq 4} \atop {x \geq -0,875 }} \right.$
ответ:   x ∈ [-0,875; 4]

b)
$\sqrt{8-2x} \leq \sqrt{6x} +15$
Проверка ОДЗ
$\left \{ {{8-2x \geq 0} \atop {6x \geq 0}} \right. ; \left \{ {{2x \leq 8} \atop {x \geq 0}} \right. ; \left \{ {{x \leq 4} \atop {x \geq 0}} \right.$
ОДЗ:  0 ≤ x ≤ 4
$\left \{ {{0 \leq x \leq 4} \atop {( \sqrt{8-2x} )^2 \leq ( \sqrt{6x}+15 )^2}} \right. ; \left \{ {{0 \leq x \leq 4} \atop { 8-2x \leq 6x+30 \sqrt{6x} +225 }} \right. ; \\ \\ \left \{ {{0 \leq x \leq 4} \atop { -217-8x \leq 30 \sqrt{6x} }} \right. ; \left \{ {{0 \leq x \leq 4} \atop { 30 \sqrt{6x} \geq -(217+8x) }} \right. ;$
Для неотрицательных х второе неравенство всегда справедливо
ответ:   x ∈ [0; 4]
----------------------------------------------
6)  $2^x\ \textless \ \frac{1}{8} ;2^x\ \textless \ 2^{-3}$
2 > 1   ⇒   x < -3
ответ:   x ∈ (-∞; -3)
----------------------------------------------
7) $0,2^x \leq -0,2$  показательная функция не может принимать отрицательные значения  ⇒  неравенство не имеет решений
ответ:   x ∈ Ф
----------------------------------------------
8)
$( \frac{1}{3} )^x \geq 9;3^{-x} \geq 3^2$
3 > 1   ⇒   -x ≥ 2;    x ≤ -2
ответ:   x ∈ (-∞; -2]