Question

Решить систему уравнений logy(x)+logx(y)=2.5 x*y=27

Answer 1

X*y=27⇒x=27/y
$\log_{y}x+log_{x}y=2.5$
$\ \frac{1}{log_{x}y}+log_{x}y-2.5=0$
$1+\log^2_{x}y-2.5log_{x}y=0$
$\log_{x}y=z$
z²-2.5z+1=0
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b² - 4ac = (-2.5)² - 4·1·1 = 6.25 - 4 = 2.25
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
z₁ = (2.5 - √2.25)/2·1 = (2.5 - 1.5)/2 = 1/2 = 0.5
z₂ = (2.5 + √2.25)/2·1 = (2.5 + 1.5)/2 = 4/2 = 2
учитывая подстановку
$\log_{x}y=z$
$\log_{x}y=0.5$ или $\log_{x}y=2$
$x^{0.5}=y$
√x=y но х=27/у⇒у=√(27/у)
у√у=√27 (при условии что √у≠0)
√у³=27
у³=27
у₁=∛27=3
$x^{2}=y$
x²=y но х=27/у⇒у=(27/у)²
у²у=27² (при условии что у²≠0)
у³=729
у₂=∛729=9
x₁=27/3=9
x₂=27/9=3
ответ
(9;3) и (3;9) решения системы уравнений