Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями. y=4x-x^2, y=x

Answer 1

Заданы y=4x-x^2 и y=x.
График первой функции - парабола ветвями вниз.
График второй - прямая линия.
Находим границы фигуры по оси Ох:
4x-x^2 = x
3x-x^2 = 0.
х(3-х) = 0.
Получаем 2 точки:
х₁ = 0,
х₂ = 3.
На данном отрезке парабола выше прямой.
Тогда площадь определяется интегралом:
$S= \int\limits^3_0 {(4x-x^2-x)} \, dx = \int\limits^3_0 {(3x-x^2)x} \, dx = \frac{3x^2}{2}- \frac{x^3}{3}|_0^3= \frac{3*9}{2}- \frac{27}{3} = \frac{9}{2}$ = 4,5.