Question

)надо! ) найдите наибольшее и наименьшее значение функции а) f(x)= 3x^5-5x^3 на промежутке [-4; 2] б) f(x)= 3+4( числитель) в знаменателе x, на промежутке [-1; 1]

Answer 1

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
а) f(x)= 3x^5-5x^3 на промежутке [-4;2]
б) f(X)= 3+4( числитель) в знаменателе X, на промежутке [-1;1]

Решение:
а) f(x)= 3x^5-5x^3 на промежутке [-4;2]

Находим производную функции f(x)= 3x^5-5x^3

f'(x)= 5*3x^(5-1)-3*5x^(3-1) = 15x^4-15x^2 = 15x^2(x^2-1)= 15x^2(x-1)(x+1)

Находим критические точки решив уравнение f'(x) = 0

   15x^2(x-1)(x+1) = 0
     х = 0;   х = 1; х = -1.

Находим значение функции в этих точках

f(-1)= 3(-1)^5-5(-1)^3 =-3 + 5= 2
f(0)= 3*0^5-5*0^3 = 0
f(1)= 3(1)^5-5(1)^3 = 3 - 5= -2

Находим значение функции на границах интервала
f(-4)= 3(-4)^5-5(-4)^3 =-3072 + 320 = -2752
f(2)= 3(2)^5-5(2)^3 = 96 - 40 = 56

Следовательно наибольшее значение функция f(x)= 3x^5-5x^3 на промежутке [-4;2]
имеет в точке х=2, f(2)= 56, а наименьшее в точке х=-4, f(-4)= -2752

ответ: fmin=-2756, fmax=56.

б) f(х)= (х+4)/х, на промежутке [-1;1]
 
f(х)= (х+4)/х =1+4/х

Находим производную функции f(x)= 1+4/х

f'(x)= (1+4/х)' = -4/x^2

Данная производная не имеет нулевых значение и терпит разрыв в точке х=0.
Функция  f(x)= 1+4/х в точке х=0 не существует и имеет разрыв второго рода. 

Находим поведение этой функции при приближении к точке 0 справа и слева.

$\lim_{x \to -0}(1+4/x)=- \infty$
$\lim_{x \to +0}(1+4/x)= + \infty$

Значение функции на границах интервала равны
f(-1) = 1 + 4/(-1) = -3
f(1) = 1+4\1 = 5
Следовательно не существует наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке так как функция на данном интервале имеет точку разрыва второго рода.