Любой многочлен степени n вида представляется произведением постоянного множителя при старшей степени и n линейных множителей , i=1, 2, …, n, то есть , причем , i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.
Эта теорема сформулирована для комплексных корней , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.
Если коэффициенты , k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.
К примеру, если корни и многочлена являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде , где
Знаменатель не может быть равен 0, поэтому
12x+1≠0 5-4x=0
12x≠-1 -4x=-5
x≠-1/12 x=5/4
Откладываем найденные значения на числовой прямой
- + -
(-1/12)(5/4)
Определяем знак выражения на интервалах и определяем, что выражение больше 0 при x∈(-1/12;5/4)