Question

Решите неравенство log0,4(4x-15)> log0,4 13

Answer 1

Прежде всего находим область определения функции $f(x)=\log_\frac{4}{10}(4x-15)$:
$4x-15\ \textgreater \ 0\\ 4x\ \textgreater \ 15\\ x\ \textgreater \ \frac{15}{4}$
То есть, решением неравенства с этой функцией могут быть только $x\ \textgreater \ \frac{15}{4}$.

Функция $f(x)=\log_ax$ монотонно убывающая для любого $a\ \textless \ 1$ и возрастающая для любого $a\ \textgreater \ 1$.
Это значит, если $a\ \textless \ 1$ и $x_1\ \textgreater \ x_2$ то $f(x_1)\ \textless \ f(x_2)$.

В нашем случае:
$a=\frac{4}{10}\ \textless \ 1\ \Rightarrow\ \Big(\log_{\frac{4}{10}}\underset{x_{1}}{\underbrace{\left(4x-15\right)}}\ \textgreater \ \log_{\frac{4}{10}}\underset{x_{2}}{\underbrace{13}}\ \Leftrightarrow\ 4x-15\ \textless \ 13\Big)$

Следовательно, неравенство выполняется при
$4x-15\ \textless \ 13\\ 4x\ \textless \ 28\\ x\ \textless \ 7$

Пересекаем ответ с областью определения функции и получаем: $\frac{15}{4}\ \textless \ x\ \textless \ 7$