Question

Найдите длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее высота равна 7 см, длина бокового ребра 9см, а длина диагонали 11см.

Answer 1

Рисуем прав. усеч. 4-хугольную пирамиду ABCD$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Из вершины $A_{1}$ опустим перпендикуляр $A_{1}$E  на диагональ АС (это и есть высота пирамиды, которая 7).
В треугольнике $A A_{1}E$ по т. Пифагора найдем $AE= \sqrt{ 9^{2}- 7^{2} }= \sqrt{32}=4 \sqrt{2}$.
Теперь в тр.$C A_{1}E$ так же найдем СЕ=$\sqrt{ 11^{2}- 7^{2} } = \sqrt{72}=6 \sqrt{2}$.
Нашли диагональ большего основания АС=АЕ+ЕС=$10 \sqrt{2}$.
А т.к. АВСД - квадрат (по условию), значит, всё по той же теореме, имеем: $AB^{2}+ BC^{2}= (10 \sqrt{2} )^{2} \\ 2 AB^{2}=200; AB=10 cm.$.
Осталось разобраться с меньшим основанием: $A_{1} C_{1}=AC-2AE$ (можешь опустить вторую высоту $C_{1}F$, тогда  AE=FC).
$A_{1} C_{1}=10 \sqrt{2}-2*4 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}$.
Ну, и наконец: $(A_{1} B_{1})^{2}+(B_{1} C_{1})^{2}= (2 \sqrt{2})^{2} \\ 2(A_{1} B_{1})^{2}=8 \\ A_{1} B_{1}=2 cm.$
В сухом остатке имеем: длины сторон оснований равны 2 и 10 см. Ура.