Question

Решите тригонометрическое неравенство!

Answer 1

(cosx-sinx)+√2(cosx-sinx)(cosx+sinx)≥0
(cosx-sinx)*(1+√2cosx+√2sinx)≥0
(cosx-cos(π/2-x))*(1+2(√2/2*cosx+√2/2*sinx))≥0
-2sinπ/4*sin(x-π/4)*(1+2*sin(x+π/4))≥0
-√2*sin(x-π/4)*(1+2*sin(x+π/4))≥0
sin(x-π/4)*(1+2*sin(x+π/4))≤0

{sin(x-π/4)≤0⇒π+2πn≤x-π/4≤2π+2πn⇒5π/4+2πn≤x≤9π/4+2πn
{sin(x+π/4)≥-1/2⇒-π/6+2πn≤x+π/4≤7π/6+2πn⇒-5π/12≤x≤11π/12+2πn
или
{sin(x-π/4)≥0⇒2πn≤x-π/4≤π+2πn⇒π/4+2πn≤x≤5π/4+2πn
{sin(x+π/4)≤-1/2⇒7π/6+2πn≤x+π/4≤11π/6+2πn⇒11π/12≤x≤19π/12+2πn
x∈[-5π/12+2πn;π/4+2πn,n∈z] U 11π/12+2πn;5π/4+2πn,n∈z]

Answer 2

Я решил так: Домножаем неравенство на √(2)/2.
$\frac{ \sqrt{2} }{2} cosx- \frac{ \sqrt{2} }{2} sinx+cos2x \geq 0 \\ cos( \frac{ \pi }{4} )cosx-sin( \frac{ \pi }{4} )sinx+cos2x \geq 0 \\ cos( \frac{ \pi }{4}+x)+cos2x \geq 0 \\ 2cos( \frac{ \frac{ \pi }{4}+3x}{2} )cos( \frac{ \frac{ \pi }{4}-x}{2} ) \geq 0$
Теперь ищем нули.
$\frac{ \frac{ \pi }{4}+3x}{2} =\frac{ \pi }{2} + \pi n \\ x=\frac{ \pi }{4}+ \frac{2 \pi }{3} n \\ \frac{ \frac{ \pi }{4}-x}{2}=\frac{ \pi }{2} + \pi k \\ x= \frac{5 \pi }{4} +2 \pi k \\$
n∈Z, k∈Z
Теперь нужно применить метод интервалов. С второй серией корней все ясно, просто отмечаем на триг окружности точку 5pi/4. А как быть с первой серией? Сделаем так, отметим ВСЕ точки,которые дает эта серия, на круге. Подставим k=-1, получим -5pi/12 (эта точка лежит между 3pi/2 и 2pi. 
При k =0: pi/4
При k=1: 11pi/2 (между pi/2 и 5pi/4). Все, если мы теперь возьмем k=2, то мы опять попадем в точку 19pi/12 находящуюся на круге там же где -5pi/12. Мы замкнули круг.
Теперь подставляем значение x из любого промежутка, находим знак функции на этом интервале, а дальше знаки чередуем.
Получаем как раз указанный тобой ответ.