Question

Нужно построить график и дать расширенное решение: график: у = корень (х) - 2 х ( y=sqrt(x)-2x ) нужно написать: 1. интервал знака постоянства. 2. точка максимума. 3. интервал выпуклости. 4. какие асимптоты имеет график. выручайте

Answer 1

Дана функция: $y= \sqrt{x} -2x.$

1. Интервал знака постоянства.
Производная равна: $y'= \frac{1}{2 \sqrt{x} }-2.$
Приравняем её нулю: 1 = 4√х.
1 = 16х,  х = 1/16.
Критическая точка одна.
х =                               0.05       0.0625            0.1
y'=(1/(2x^(1/2))-2       0.23607         0           -0.41886.
Где производная положительна - там функция возрастает, где производная отрицательна - там функция убывает.
Убывает на промежутке (-oo, 1/16],
возрастает на промежутке [1/16, oo) 
2. Точка максимума.
По пункту 1: где производная меняет знак с + на - , там максимум функции - это точка х = 1/16, у = 1/8.
3. Интервал выпуклости.
Находим вторую производную: $y''=- \frac{1}{4x^{ \frac{3}{2} }} .$
Переменная в знаменателе не может быть равна нулю - перегиба у функции нет. Вторая производная только отрицательна (корень из квадрата) - график функции только выпуклый вверх.
4. Какие Асимптоты имеет график.
Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx→−∞(x√−2x)=∞limx→−∞(x−2x)=∞значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
limx→∞(x√−2x)=−∞limx→∞(x−2x)=−∞значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x) - 2*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx→−∞(1x(x√−2x))=−2limx→−∞(1x(x−2x))=−2значит, уравнение наклонной асимптоты слева:
y=−2xy=−2x,

limx→∞(1x(x√−2x))=−2limx→∞(1x(x−2x))=−2значит, уравнение наклонной асимптоты справа:
y=−2x.