Question

Срешением этой ! стороны основания треугольной пирамиды равны 4, 6 и 7. боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом п/3. найдите объем пирамиды.

Answer 1

Для вычисления объема пирамиды нужно узнать ее площадь основания и высоту. Для вычислений понадобится полупериметр треугольника-основания p=(4+6+7)/2=17/2.
Площадь произвольного треугольника по трем сторонам равна $S= \sqrt{p*(p-a)*(p-d)*(p-c)}$$= \sqrt{ \frac{17}{2}( \frac{17}{2}-4)( \frac{17}{2}-6)( \frac{17}{2}-7) }=\sqrt{ \frac{17}{2} \frac{17-8}{2} \frac{17-12}{2} \frac{17-14}{2} }= \sqrt{ \frac{17*9*5*3}{2*2*2*2} }$$= \frac{3}{4} \sqrt{17*5*3}$
У пирамиды с равным углом всех ребер к основанию, высота, опущенная из вершины, попадает в центр описанной около основания окружности. Радиус такой окружности для произвольного треугольника равен $R= \frac{abc}{4S}$$= \frac{4*6*7}{ 4*\frac{3}{4} \sqrt{17*5*3} }$$= \frac{56}{ \sqrt{17*5*3} }$
Ее радиус и высота пирамиды- катеты прямоугольного треугольника, и высота равна $h=R*tg \frac{ \pi }{3} = \frac{56}{ \sqrt{17*5*3}} * \sqrt{3}= \frac{56}{ \sqrt{17*5} }$
Объем пирамиды $V= \frac{1}{3} Sh= \frac{1}{3} \frac{3}{4} ( \sqrt{17*5*3})* \frac{56}{ \sqrt{17*5} } =14 \sqrt{3}$ кубических единиц.