Question

При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2+(2a-5)*x+(a^2-5a+6)=0 минимальна?

Answer 1

По теореме Виета
х₁+х₂=-(2а-5)
х₁х₂=а²-5а+6

х₁²+х₂²=(х₁+х₂)²-2х₁х₂=(5-2а)²-2(а²-5а+6)=25-20а+4а²-2а²+10а-12=
=2а²-10а+13 =( выделяем полный квадрат)=
=2(а-(5/2))²+13-(25/2)=2(а-2,5)²+0,5
при а=2,5

Answer 2

$\displaystyle x^2+(2a-5)x+(a^2-5a+6)=0 \\ D=(2a-5)^2-4(a^2-5a+6)= \\ 4a^2-20a+25-4a^2+20a-24=1 \\ x_{1,2}= \frac{-(2a-5)\pm1}{2} ; \ x_1=2-a; \ x_2=3-a \\ F=(2-a)^2+(3-a)^2=4-4a+a^2+9-6a+a^2= \\ 2a^2-10a+13\to\min$
График этой функции - квадратная парабола. Поскольку коэффициент при квадрате х положительный, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, эта функция имеет минимум.
Выделим полный квадрат.
$F=2a^2-10a+13=2(a^2-5a+6.5)=2(a^2-2\cdot2.5a+6.5)= \\ 2[(a^2-2\cdot 2.5a+2.5^2)-2.5^2+6.5]= \\ 2[(a-2.5)^2-(6.25-6.5)]=2(a-2.5)^2+0.5$
Легко видеть, что минимум достигается при a=2,5