Х^5+4х^3+3x=x*(x^4+4x^2+3) Достаточно доказать, что многочлены x^4+4x^2+3 и x^4 +3x^2+ 1 не имеют общих делителей. Если они имеют общий делитель, то и их разность имеет тот же делитель (раскладывается на множители, содержащие общий делитель. или равна этому делителю). Разность равна x^2+2 Этот многочлен на множители не раскладывается ( с действительными коэффициентами). Достаточно проверить, что ни один из многочленов на x^2+2 не делится.На само деле достаточно проверить, что хотя бы один из них на x^2+2 не делится. Например второй. В самом деле: x^4 +3x^2+ 1=(x^2+2)*( x^2+1)-1, т.е. при делении дает остаток -1. Значит у многочленов нет общих делителей, кроме тривиального, равного 1.
Треугольник ABCABC является остроугольным, так как 62<42+5262<42+52. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту AA1AA1, и пусть она делит отрезок BCBC на части длиной xx и yy. С одной стороны, x+y=5x+y=5. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам ACA1ACA1 и ABA1ABA1 с общей высотой, 62−x2=AA21=42−y262−x2=AA12=42−y2. Следовательно, x2−y2=20x2−y2=20, то есть x−y=20/5=4x−y=20/5=4, откуда x=9/2x=9/2 и y=1/2y=1/2. Последнее означает, что K=A1K=A1, то есть треугольник ABKABK прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы ABAB.Теперь опустим высоту BB1BB1, и тем же методом найдём CB1=15/4CB1=15/4, B1A=9/4B1A=9/4. Из этого следует, что MB1=15/4−27/8=3/8MB1=15/4−27/8=3/8, что составляет 1/101/10 от CB1CB1. Точно так же, KBKB составляет 1/101/10 от CBCB. Из этого можно сделать вывод, что прямые KMKM и BB1BB1 параллельны, а потому треугольник AKMAKM также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы AKAK.Таким образом, dd есть длина средней линии треугольника ABKABK, откуда d=BK/2=1/4d=BK/2=1/4.
Достаточно доказать, что многочлены x^4+4x^2+3 и x^4 +3x^2+ 1 не имеют общих делителей. Если они имеют общий делитель, то и их разность имеет тот же делитель (раскладывается на множители, содержащие общий делитель. или равна этому делителю).
Разность равна
x^2+2
Этот многочлен на множители не раскладывается ( с действительными коэффициентами). Достаточно проверить, что ни один из многочленов на x^2+2 не делится.На само деле достаточно проверить, что хотя бы один из них на x^2+2 не делится. Например второй.
В самом деле: x^4 +3x^2+ 1=(x^2+2)*( x^2+1)-1, т.е. при делении дает остаток -1. Значит у многочленов нет общих делителей, кроме тривиального, равного 1.