Предположим, что существует натуральное число b такое, что b⁴=5a⁴+13 (знак b значения не имеет, поэтому достаточно доказать, что таких натуральных чисел нет). Тогда число b можно записать как 5n+r, где r - остаток от деления числа b на 5. Получаем равенство (5n+r)⁴=5a⁴+13. Заметим, что правая часть имеет остаток 3 при делении на 5, а значит, число b⁴ имеет остаток 3 при делении на 5 и r≠0. Выражение (5n+r)⁴ имеет такой же остаток при делении на 5, что и число r⁴ (если мы раскроем скобки, то слагаемое r⁴ окажется единственным, не делящимся на 5). Легко проверить, что при r=1,2,3,4 число r⁴ имеет остаток 1 при делении на 5. Мы получили противоречие, следовательно, такого числа b не существует и число 5a⁴+13 не является четвертой степенью никакого целого числа.
Период обращения земли вокруг своей оси это сутки, у нас принято их делить на 24 часа, так почему именно 24 часа.
Такое деление абсолютно произвольное, будь в сутках, например 100 часов ничего бы не изменилось кроме цифр. В древние времена довольно долго конкурировали две системы счета, это десятичная в которой все числа кратны 2, 5, 10 и шестеричная в ней числа были кратны 2, 3, 4, 6. Поскольку десятичная система была более простой для обучения детей, так как у людей 10 пальцев, она стала основной. Нам сейчас гораздо удобнее считать все в десятичной системе, например мы легко скажем сколько в 650 копейках рублей, но вопрос сколько в 260 минутах часов заставит нас задуматься.
Но у исчисления времени прижилась система 12 часов, 60 минут в древнем Вавилоне эти цифры били священными и система счеты бала шестеричной. 24 часа это 12 часов дня и 12 часов ночи. В след за вавилонянами такую систему счета времени переняли египтяне. В Вавилоне были только часы, минуты и секунды появились гораздо позже, и так же имеют шестеричный формат. Кстати 360 градусов в окружности пошло тоже оттуда.
В сутках все-таки не ровно 24 часа, это обуславливает наличие високосного года. Каждый год накапливается 6 лишних часов, или около 59 секунд за день. Если бы високосного года не было рано или поздно вместо лета наступила зима, а вместо зимы лето. Так же в году есть 2 дня когда в сутках не 24 часа, это последнее воскресенье октября и марта, в эти дни в сутках 25 и 23 часа соответственно. Еще в сутках 1440 минут или 86400 секунд.
ериод обращения Земли вокруг Солнца (год) не содержит целое число периодов обращения ее вокруг своей оси (сутки). За четыре года собираются одни лишние сутки (по 6 часов в год) и их добавляют 29 февраля, чтобы не сещать даты. Если этого не делать, то дни первого января "перебрались" бы поближе к весне. Понятнее всего это показать на практике летоисчисления. Несколько столетий назад Папа Римский Григорий все же заметил, что рождество запаздывает, а Пасха и вовсе к лету уходит и предложил астрономам внести в календарь нужные изменения. Появился Новый стиль, когда в годы столетий (ближайший в 2100) первые две цифры не делятся на 4 их не считают високосными и не добавляют февралю день - это достаточно точный календарь на длительное время. Однако, Православная церковь отказалась принимать нововведения и осталась при прежнем календаре, поэтому все у нее позже нормального на 13 дней (после 2100 будет на 14 и т. д.). Все бы ничего, но в Европе давно новый стиль, у нас с Петра Первого. Каледарь, который стал добавлять 29 февраля был введен Юлием Цезарем по проекту египетских астрономов, которые не знали, что будет неточность, а сам Юлий был гонителем первых христиан. Вот такая история с астрономией.
