Question

Решите уравнение: x³ + 5x² + 10x +25 =0

Answer 1

Решаем с Формулы Кардано
 Заменим $x=y- \frac{5}{3}$, получаем
$(y- \frac{5}{3} )^3+5(y- \frac{5}{3} )^2+10(y- \frac{5}{3} )+25=0\\ y^3-5y^2+ \frac{25}{3} y- \frac{125}{27} +5y^2- \frac{50}{3}y+ \frac{125}{9} +10y- \frac{50}{3}y+25=0\\ y^3+ \frac{5}{3}y+ \frac{475}{27}=0$
Сделаем подстановку Виета
 $y=t- \frac{5}{9t}$, тогда получаем
$t^3- \frac{5}{3} t+ \frac{25}{27t} - \frac{125}{729t^3} + \frac{5}{3} t- \frac{25}{27t} + \frac{475}{27} =0\\ \\ t^3- \frac{125}{729t^3}+\frac{475}{27}=0$
$t^6+\frac{475}{27}t^3-\frac{125}{729}=0$
Пусть $\sqrt[3]{a} =t$, тогда
$a^2+\frac{475a}{27}-\frac{125}{729}=0$
Дальше квадратное уравнение

$D=b^2-4ac=\frac{8375}{27}$

$a_1_,_2= \dfrac{-\frac{475}{27}\pm\frac{5 \sqrt{335} }{3 \sqrt{3} }}{2}$

Возвращаясь к заменам, получим ответ

$x=\frac{-10+ \sqrt[3]{-1900+60 \sqrt{1005} }+ \sqrt[3]{-1900-60 \sqrt{1005} } }{6}$