Відповідь:
Покрокове пояснення:
Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r^3 - r = 0
Вынесем r за скобку. Получим:
r(r^2-1) = 0
Здесь r1 = 0. Найдем остальные корни.
r^2 +0 r - 1 = 0
D=02 - 4·1·(-1)=4
Корни характеристического уравнения:
r1 = -1
r2 = 0
r3 = 1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e^(-x)
y2 = e^(0x)
y3 = e^x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y- = C1*e^(-x) +C2 +C3*e^x , Ci ∈ R
Правая часть P(x) = x^2+x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:
y· = x (Ax^2 + Bx + C)
Вычисляем производные:
y' = A·x^2+B·x+C+x(2·A·x+B)
y'' = 2(3·A·x+B)
y''' = 6·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y''' -y' = (6·A) -(A·x^2+B·x+C+x(2·A·x+B)) = x^2+x
или
-3·A·x^2+6·A-2·B·x-C = x^2+x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
x^2: -3A = 1
1: 6A -C = 0
x: -2B = 1
Решая ее, находим:
A = -1/3;B = -1/2;C = -2;
Частное решение имеет вид:
y·=x (-1/3x^2 -1/2x -2)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = y- + y. =C1*e^(-x) +C2 +C3*e^x -1/3x^3 -1/2x^2 -2x
Очевидно, что здесь график будет основан на параболе.
Сейчас посмотрим, что будет при раскрытии модуля
\displaystyle |x-3| = \left \{ {{x-3,x>3} \atop {3-x, x<3}} \right.∣x−3∣={
3−x,x<3
x−3,x>3
Не стал рассматривать x=3x=3 , потому что он в знаменателе дроби.
При положительном раскрытии дробь равна 1, при отрицательном раскрытии дробь равна -1.
Итого имеем:
\displaystyle y=\left \{ {{x^2-6x+1+3, x>3} \atop {x^2-6x-1+3, x<3}} \right.y={
x
2
−6x−1+3,x<3
x
2
−6x+1+3,x>3
То есть \displaystyle y=\left \{ {{x^2-6x+4, x>3} \atop {x^2-6x+2, x<3}} \right.y={
x
2
−6x+2,x<3
x
2
−6x+4,x>3
Чтобы было удобно строить, выделим полный квадрат и увидим, что оба куска различаются лишь расположением по оси ОУ, а так та же парабола.
\displaystyle y=\left \{ {{x^2-6x+9-9+4=(x-3)^2-5, x>3} \atop {x^2-6x+9-9+2=(x-3)^2-7, x<3}} \right.y={
x
2
−6x+9−9+2=(x−3)
2
−7,x<3
x
2
−6x+9−9+4=(x−3)
2
−5,x>3
То есть оба куска смещены по оси ОХ на 3 единицы вправо, а смещение по ОУ зависит от самого куска: левый кусок (x<3)(x<3) смещен на 7 единиц вниз, а правый (x>3)(x>3) - на 5 единиц вниз.
Кстати, в x=3x=3 - разрыв, поэтому на графике будут две выколотые точки - слева и справа.
Сам график строится так:
Строятся полностью оба куска (довольно легко, по факту из новой точки - в 1-ом куске (3;-5), во 2-м (3;-7) строим самые параболы y=x^2y=x
2
, ну то есть мысленно представляем, что, например, точка (3;-5) является началом координат и от неё параболку шаблонную строим с заученной наизусть таблицей) и на каждом интервале остается только та часть, которая указана в системе.
Картинка 1 - два графика разным цветом
Картинка 2 - итоговый график, то есть после того, как ненужные части были убраны и был добавлен раздел.
_____________________________
С телефона ↓
45*5/9=5*5=25