Question

Даны вершины пирамиды а1 а2 а3 а4. координаты вершины: а1(3, 6, 1) а2(6, 1, 4) а3(3, -6, 10) а4(7, 5, 4) а) записать уравнение грани пирамиды а2 а3 a4 и найти её расстояние от точки а1 б) найти проекцию точки а1 на грань а2 а3 a4

Answer 1

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение плоскости имеет вид: 
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Точка A2     Точка A3      Точка A4
   x  y z          x  y   z           x y z
   6 1 4          3 -6 10          7 5 4
x-x1 y2-y1 z3-z1 z2-z1 y3-y1 y-y1 x2-x1 x3-x1 z-z1 x-x1 -7 0 6 4 y-y1 -3 1 z-z1 (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) (x-x1) * 0 (x-x1) * 24 (y-y1) * 0 (y-y1) * 6 (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1)  (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) (z-z1) * -12 (z-z1) * -7
Уравнение плоскости  A2A3A4 x -x1 0 24 y y1 0 6 z z1 -12 -7   -24 144     6 -6     -5 20    
  -24 x + 6 y - 5 z + 158 = 0 или
   24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0

Можно получить это же уравнение так:
Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
 |  x - Вх        y - By         z - Bz| 
 |Dx - Вх      Dy - By      Dz - Bz|    = 0
 |Cx -  Вх     Cy - By      Cz - Bz| 

    |x - 6           y - 1            z - 4| 
    |7 - 6          5 - 1            4 - 4|          =0
    |3 - 6         -6 - 1          10 - 4|  

   x - 6           y - 1             z - 4  
      1               4                  0  
     -3              -7                  6              =
= 24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4)  = 24·x - 6·y + 5·z - 158. 
Направляющий вектор плоскости: N = {24,-6,5}

Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
 имеет вид:
{x + Ax)/Nx = (y + Ay)/Ny = (z + Az)/Nz;  
(x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/5.

Для вычисления расстояния от точки А1(3; 6; 1) до плоскости 24x - 6y + 5z - 158 = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| / √A2 + B2 + C2

Подставим в формулу данные

d = |24·3 + (-6)·6 + 5·1 + (-158)|  = |72 - 36 + 5 - 158|/√(24² + (-6)² + 5²) = 117/√(576 + 36 + 25) = 117/(9√137)  ≈ 4.635708782739415.