Даны три точки А(-2,6), В(11,-4) и С(7,8).
Составить уравнения высоты АН и медианы АМ, найти длину медианы.
1) Длина вектора a(X; Y) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y²), где X, Y разность координат точек по осям x, у.
Находим координаты вектора АВ по точкам А(-2,6) и В(11,-4).
АВ = (11-(-2); -4-6) = (13; -10).
Длина АВ = √(13² + (-10)²) = √(169 + 100) = √269.
Аналогично ведём расчёт и для других сторон.
Длины сторон и векторы
АВ ВС АС
Δx Δy Δx Δy Δx Δy
13 -10 -4 12 9 2
169 100 16 144 81 4
269 160 85
АВ (c) = 16,401 ВС(a) = 12,649 АС (b) = 9,2195
Периметр Р = 38,27
Полупериметр р = 19,135
2) уравнение высоты AH.
Находим уравнение стороны ВC по точкам В(11,-4) и С(7,8).
Вектор BC = ((7-11; 8-(-4))) = (-4; 12).
Уравнение ВС: (х - 11)/(-4) = (у + 4)/12
12x – 132 = -4y - 16
12x + 4y - 116 = 0 или 3x + y - 29 = 0
y = -3x + 29.
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением
A(y-y1)-B(x-x1)=0.
Подставим координаты точки А(-2,6) и коэффициенты А = 3, В = 1.
3(y – 6) – 1*(x + 2) = 0.
Получаем уравнение высоты АН: -x + 3y – 20 = 0 или
x - 3y + 20 = 0.
3) Находим координаты точки М как середину отрезка ВС.
М = (В(11,-4) + С(7,8)) / 2 = (9; 2).
Вектор АМ = М(9; 2) - А(-2,6) = (11; -4).
Длина АМ = √(11² + (-4)²) = √(121 + 16) = √137.
4) Находим уравнение медианы АМ по точке А(-2, 6) и вектору АМ(11; -4).
Уравнение АМ: (х + 2)/11 = (у - 6)/(-4).
-4x – 8 = 11y - 66
4x + 11y - 56 = 0.
y = (-4/11)x - (56/11).
2) 4/5-11/15=12/15-11/15=1/15 пути и есть 2 км
3) 1/15х=2
х=2:1/15
х=2*15
х=30 км - весь путь.