Question

Сколько четырехзначных чисел имеет следующий свойство: если вы удалите какое-либо цифру, полученное число будет трехзначным, а началное четырехзначное число делится без остатка на это число

Answer 1

Рассмотрим стандартную запись четырехзначного числа:

$10^{3}a+10^{2}b+10c+d$;

Для примера: удалим цифру b: получим, что

$10^{2}a+10c+d \; | \; 10^{3}a+10^{2}b+10c+d \Rightarrow 10^{2}a+10c+d \; |\; 10^{3}a+10^{2}(b-a) \Rightarrow 10^{3}a+10^{2}b-10^{2}a=10^{2}ak+10ck+dk \Rightarrow d=0$; Здесь был использован тот факт, что если a | b, то

a | (b-a); Продолжая делать то же самое, получаем условие: $b-a=c$; Легко проверить, что оно работает.

Удаляя цифру c, получаем, что решения отсутствуют.

Удалим теперь цифру d: получим, что d=0;

Удалим цифру a: получим, что некоторое трехзначное число (a00) должно делиться на двухзначное (bc); Все это показывает, что все числа, у которых нет в записи нулей или он стоит не в конце не удовлетворяют нашему условию.

Значит всего искомых чисел столько же сколько и трехзначных, то есть 900