1/ f'(x)=4x³-4=4(x³-1)=4(x-1)(x²+x+1) x²+x+1>0 так как D=1-4<0 производная меняет знак только в х=1. При х < 1 производная отрицательна ⇒ функция убывает, при х>1 - возрастает. f'=0 ⇒x=1 минимум функции при х=1
2/ y=x³-4x²+3 x∈(-∞,∞) y(0)=3 y(1)=1-4+3=0 y=(x-1)(x²+bx+c) приравнивая коэффициенты при х², х и своб.член имеем x³-4x²+3=x³-x²+bx²-bx+cx-c ⇒ -c=3 c=-3 b-1=-4 b=-3 c-b=0 b=c=-3 y=(x-1)(x²-3x-3) x1=1,x2=(3+√21)/2≈3.8, x2=(3-√21)/2≈-0.8
области убывания-возрастания и критические точки y'=3x²-8x=x(3x-8) 0 8/3 + - + возрастает х∈(-∞, 0)∨(8/3, ∞) 8/3≈2,67 убывает х∈(0, 8/3) критические точки y'=0 ⇒ х=0 максимум =3 х=8/3 минимум ≈(2,67)³-4(2,67)²+3≈19-28,5+3=-6,5 y'' = 6x-8 6x-8=0 x=8/6≈1.33
при х=4/3≈1,33 точка перегиба - функция меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз.
построение графика.
линия идет снизу, пересекает ось Х в точке х=-0,8, достигает максимума равного у=3 при х=0, идет вниз-убывает, пересекает ось Х при х=1, достигает минимума равного примерно -6,5 при х=8/3, идет вверх, пересекает ось при х≈3,8 и уходит в +∞
Пусть Леонид заполняет один шарик за Х мин, тогда Борис заполняет один шарик за Х - 1 мин.
тогда
скорость Леонида 1/Х шар./мин, а скорость Бориса 1/(Х-1) шар./мин. 0,5 ч = 30 мин
Работа Скорость Время (шар.) (шар./мин) (мин) ___________________________________________________ Леонид 30*1/Х 1/Х 30 Борис 30*1/(Х-1) 1/(Х-1) 30 ___________________________________________________ По условию за 30 мин Борис наполняет на 1 шар больше, чем Леонид, значит Отрицательный корень - посторонний. Значит х=6.
Тогда Леонид наполнит за полчаса 30/6 = 5 шариков, а Борис наполнит 5+1 = 6 шариков.
б) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
в) 48, 96.
г) 99.