Площадь треугольника BOK равна KB*KO/2 (так как BKO прямой)
Угол OBK=альфа/2, так как BO биссектриса
Если обозначить точки касания на сторонах AB и AC через L и M соответственно и рассмотреть треугольники образованные точками касания, соседними вершинами треугольника и центром окружности, то окажется, что есть пары равных треугольников, из чего следует, что LB=KB, KC=MC, MA=LA. Подставляя эти равенства в LA+LB+KB+KC+MC+MA=2p, получаем 2MC+2MA+2KB=2p, откуда MC+MA+KB=p. С другой стороны, MC+MA=AC=a, поэтому KB=p-a
Тогда из треугольника OBK OB=KB*tg(альфа/2)=(p-a)*tg(альфа/2)
Подставляя в формулу для площади получим
S=((p-a)^2*tg(альфа/2))/2
Пошаговое объяснение:
Сначала заметим, что сумма 1+2+...+n+57 должна быть четным числом, чтобы камень и гирьки можно было разложить на две равных чаши.
Отсюда сумма S = 1+2+...+n должна быть нечетной.
Найдем, при каком минимальном n можно уравновесить камень весом 57 грамм.
n = 10: S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 < 57 - мало.
n = 11: S = 55 + 11 = 66 > 57. Но S четное, поэтому не подходит.
n = 12: S = 66 + 12 = 78 - опять четное.
n = 13: S = 78 + 13 = 91 - подходит. Попробуем разложить на чаши.
Масса на каждой чаше должна быть:
m = (91 + 57)/2 = 148/2 = 74
На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+7 = 57 + 17 = 74
На второй чаше: 5+6+8+9+10+11+12+13 = 19+10+20+25 = 29+45 = 74
На одной чаше с камнем получилось 5 гирек: 1,2,3,4,7.
n = 14: S = 91 + 14 = 105 - подходит. Раскладываем на чаши.
m = (105 + 57)/2 = 162/2 = 81
На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+9 = 57 + 24 = 81
На второй чаше: 6+7+8+10+11+12+13+14 = 20+15+10+11+25 = 45+36 = 81
На одной чаше с камнем получилось 6 гирек: 1,2,3,4,5,9
И мне кажется, что при увеличении n количество гирек на чаше с камнем может расти неограниченно.
Например, при n = 17: S = 153, m = (153+57)/2 = 210/2 = 105
На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+6+7+9+11 = 57 + 28 + 20 = 105
На другой чаше: 8+10+12+13+14+15+16+17 = 30+30+30+15 = 105
На одной чаше с камнем получилось 9 гирек: 1,2,3,4,5,6,7,9,11.
И так далее.
