ГМТ, удалённых от заданной точки на заданное расстояние - это окружность с радиусом, равным заданному расстоянию. Координаты точки Х находим совместным решением уравнений таких окружностей. Поместим квадрат АВСД в прямоугольную систему координат точкой А в начало, стороной АД по оси Ох. Точка А (0; 0), точка С (1; 1). Уравнение окружности с центром в точке А: х² + у² = 5. Уравнение окружности с центром в точке С: (х - 1)² + (у - 1)² = 7.
Решаем систему:
Раскроем скобки:
Подставим вместо х² + у² число 5 и получим: -2х - 2у = 0 или у = - х. Это говорит о том, что точка Х лежит на прямой у = -х. Подставим это свойство в первое уравнение: х² + (-х)² = 5, 2х² = 5, х = +-√(5/2) ≈ +- 1,5811388. Тогда у = -+ 1,5811388. Имеем две точки, где может находиться точка Х: Х((-√(5/2)); √(5/2)) и Х₁((√(5/2)); -√(5/2)). Имеем и 2 расстояния от точки Х до точки В. Расстояние между точками. d = √((х2 - х1)² + (у2 - у1 )²). BХ = 1,684554, BХ1 = 3,026925.
Будем рассматривать то,что слева и справа от знака равенства как две функции.Назовем левую 1, а правую 2. Заметим,что они обе нечетные и обе проходят через точку (0,0).Так же заметим,что вблизи (0,0) 1 идет круче,чем 2. Посмотрим сколько локальных максимумов имеет 1 на участке от (0;пи) через производную: пи/3 *cos(пи/3 *sinx)*пи/3 *сosx=0, то есть x=пи/2, либо sinx=3/2-не может быть. Поэтому на участке (0;пи) 1 точка пересечения графиков функций. Последнее замечание,что на участке от (2пи;2,5пи) значения 2 больше значений 1,поэтому в силу цикличности графика 1 и симметричности 1 и 2 делаем вывод,что всего 3 решения. Дальше разумным подбором находим 1 решение, а второе будет отличаться только знаком. Итак, x=0;пи/6;-пи/6.
2)28: 2=14
ответ: стороны прямоугольника 14 и 6 см