Question

Для функции y=f(x) найдите первообразную f(x), график которой проходит через точку м (a; b) , и постройте график функции f(x): 9) 1. f(x) = 2x+3, m(1; 2); 2) f(x) = 3x^2 - 2 , m(2; 4); 3) f(x) = 1 + sinx, m(0; 1); 4) f(x) = 3cosx - 2, m(пи/ 2; - 1). 10) 1) f(x) = 1 / sin^2 (пи / 2 + х) , m(- пи / 4 ; - 1 ); 2) f(x) = 1 / cos^2 (3пи / 2 - х ) , м (5пи/ 6 ; корень из 3). 11. найдите общий вид первообразных для функции: 1) f(x) = (x-1)^3 ; 2) f(x) = (1-2x)^2 ; 3) f(x) = 1 / 2 корень из x + 11x ^10 ; 4) f(x) = 1 / x^2 + 12x^8.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Первообразная функции - это такое выражение, производная которого равна исходной функции.

$f(x)=2x+3;$

Первообразная: $F(x)=\int(2x+3)dx=x^2+3x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$2=1^2+3\cdot1+C\\ C=-2$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=x^2+3x-2}$

$f(x)=3x^2-2;$

Первообразная: $F(x)=\int(3x^2-2)=x^3-2x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$4=2^3-2\cdot2+C\\ C=0$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=x^3-2x}$

$f(x)=1+\sin x;$

Первообразная: $F(x)=\int(1+\sin x)dx=x-\cos x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$1=0-\cos0+C\\ C=2$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=x-\cos x+2}$

$f(x)=3\cos x-2;$

Первообразная: $F(x)=\int(3\cos x-2)=3\sin x-2x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$-1=3\sin\frac{\pi}{2}-2\cdot\frac{\pi}{2}+C\\ C=-4+\pi$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=3\sin x-2x-4+\pi}$

$f(x)=\dfrac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2}+x)}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Первообразная: $F(x)=\displaystyle \int\dfrac{dx}{\cos^2 x}={\rm tg}x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$-1={\rm tg}(-\frac{\pi}{4})+C\\ -1=-1+C\\ C=0$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)={\rm tg}x}$

$f(x)=\dfrac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2}-x)}=\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Первообразная: $F(x)=\displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^2 x}=-{\rm ctg}x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$\sqrt{3}={\rm ctg}\frac{5\pi}{6}+C\\ \sqrt{3}=-\sqrt{3}+C\\ C=2\sqrt{3}$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=-{\rm ctg}x+2\sqrt{3}}$

$f(x)=(x-1)^3$

Общий вид первообразной: $F(x)=\int(x-1)^3dx=\dfrac{(x-1)^4}{4}+C\\$

$f(x)=(1-2x)^2=1-4x+4x^2$

Общий вид первообразной: $F(x)=\int dx-4\int xdx+4\int x^2dx=x-2x^2+\dfrac{4x^3}{3}+C\\$

$f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+11x^{10}$

Общий вид первообразной:$F(x)=\sqrt{x}+11\cdot \dfrac{x^{11}}{11}+C=\sqrt{x}+x^{11}+C$

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}+12x^8$

Общий вид первообразной:$F(x)=\displaystyle \int\bigg(\dfrac{1}{x^2}+12x^8\bigg)dx=-\dfrac{1}{x}+12\cdot \dfrac{x^9}{9}+C=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4x^9}{3}+C$