Question

Решите иррациональные уравнения с решением, заранее : 1)x-sqrt[25-x^2]=1 2)sqrt[x-1]-sqrt[2x-9]=-1 3)x+sqrt[x+1]=11 4)2-sqrt[5x]+sqrt[2x-1]=0 5)sqrt[2+sqrt[x-5]]=sqrt[13-x] 6)sqrt[x-3]*sqrt[2x+2]=x+1

Answer 1

1)
$x- \sqrt{25-x^2}=1 \\ - \sqrt{25-x^2}=1-x \\ \sqrt{25-x^2}=x-1$

ОДЗ: 
a) 25-x²≥0
    x²-25≤0
    (x-5)(x+5)≤0
    x=5      x= -5
      +               -                   +
--------- -5 ------------ 5 --------------
                \\\\\\\\\\\\\\\
    x∈[-5; 5]
b) x-1≥0
    x≥1
В итоге ОДЗ: x∈[1; 5]

25-x²=(x-1)²
25-x²=x²-2x+1
-x²-x²+2x+25-1=0
-2x²+2x+24=0
x²-x-12=0
D=(-1)² -4*(-12)=1+48=49=7²
x₁=(1-7)/2= -3 - не подходит по ОДЗ.
x₂=(1+7)/2=4
ответ: 4.

2)
$\sqrt{x-1}- \sqrt{2x-9}= -1$

ОДЗ:
а) x-1≥0
    x≥1
b) 2x-9≥0
    2x≥9
    x≥4.5
В итоге ОДЗ: x∈[4.5; +∞)

$( \sqrt{x-1}- \sqrt{2x-9} )^2=(-1)^2 \\ x-1-2 \sqrt{(x-1)(2x-9)}+2x-9=1 \\ -2 \sqrt{2x^2-2x-9x+9}=-3x+11 \\ 2 \sqrt{2x^2-11x+9}=3x-11 \\ (2 \sqrt{2x^2-11x+9} )^2=(3x-11)^2 \\ 4(2x^2-11x+9)=9x^2-66x+121 \\ 8x^2-44x+36=9x^2-66x+121 \\ 8x^2-9x^2-44x+ 66x+36-121=0 \\ -x^2+22x-85=0 \\ x^2-22x+85=0 \\ D=(-22)^2-4*85= 484-340=144=12^2 \\ x_{1}= \frac{22-12}{2}=5 \\ x_{2}= \frac{22+12}{2}=17$

Проверка корней:
а) x=5
$\sqrt{5-1}- \sqrt{2*5-9}= \sqrt{4}- \sqrt{1}=2-1=1 \\ 1 \neq -1$
х=5 - не корень уравнения
 
b) x=17
$\sqrt{17-1}- \sqrt{2*17-9}= \sqrt{16}- \sqrt{25}=4-5=-1 \\ -1=-1$
x=17 - корень уравнения.
ответ: 17.

3)
$x+ \sqrt{x+1}=11 \\ \sqrt{x+1}=11-x$

ОДЗ:
a) x+1≥0
    x≥ -1
b) 11-x≥0
     -x≥ -11
      x≤11
В итоге ОДЗ: х∈[-1; 11]

x+1=(11-x)²
x+1=121-22x+x²
-x²+x+22x+1-121=0
-x²+23x-120=0
x²-23x+120=0
D=(-23)² -4*120=529-480=49=7²
x₁=(23-7)/2=8
x₂=(23+7)/=15 - не подходит по ОДЗ.
ответ: 8.

4)
$2- \sqrt{5x}+ \sqrt{2x-1}=0$

ОДЗ: 
a) 5x≥0
x≥0

b) 2x-1≥0
    2x≥1
    x≥0.5
В итоге ОДЗ: х∈[0.5; +∞)

$\sqrt{2x-1}- \sqrt{5x}=-2 \\ ( \sqrt{2x-1}- \sqrt{5x} )^2=(-2)^2 \\ 2x-1-2 \sqrt{5x(2x-1)}+5x=4 \\ 7x-1-2 \sqrt{5x(2x-1)}=4 \\ -2 \sqrt{5x(2x-1)}=-7x+4+1 \\ -2 \sqrt{10x^2-5x}=-7x+5 \\ (2 \sqrt{10x^2-5x})^2=(7x-5)^2 \\ 4(10x^2-5x)=49x^2-70x+25 \\ 40x^2-20x-49x^2+70x-25=0 \\ -9x^2+50x-25=0 \\ 9x^2-50x+25=0 \\ D=(-50)^2-4*9*25=2500-900=1600=40^2 \\ x_{1}= \frac{50-40}{9*2}= \frac{10}{18}= \frac{5}{9} \\ x_{2}= \frac{50+40}{18}=5$

Проверка корней:
х=⁵/₉
$2- \sqrt{5* \frac{5}{9} }+ \sqrt{2* \frac{5}{9}-1 }=2- \frac{5}{3}+ \frac{1}{3}= \frac{6-5+1}{3}= \frac{2}{3} \\ \\ \frac{2}{3} \neq 0$
x=⁵/₉ - не корень уравнения

х=5
$2- \sqrt{5*5}+ \sqrt{2*5-1}=2-5+3=0 \\ 0=0$
ответ: 5.

5)
$\sqrt{2+ \sqrt{x-5} }= \sqrt{13-x} \\ (2+ \sqrt{x-5} )^2=( \sqrt{13-x} )^2 \\ 2+ \sqrt{x-5}=13-x \\ \sqrt{x-5}=13-2-x \\ x-5=(11-x)^2 \\ x-5=121-22x+x^2 \\ -x^2+x+22x-5-121=0 \\ -x^2+23x-126=0 \\ x^2-23x+126=0 \\ D=(-23)^2-4*126= 529-504=25=5^2 \\ x_{1}= \frac{23-5}{2}=9 \\ x_{2}= \frac{23+5}{2}=14$

Проверка корней:
х=9
$\sqrt{2+ \sqrt{9-5} }= \sqrt{13-9} \\ \sqrt{2+2}= \sqrt{4} \\ 2=2$
x=9 - корень уравнения

х=14
$\sqrt{2+ \sqrt{14-5} }= \sqrt{13-14} \\ \sqrt{13-14}= \sqrt{-1}$
не имеет смысла.
х=14 - не корень уравнения.
ответ: 9.

6)
$\sqrt{x-3}* \sqrt{2x+2}=x+1 \\ \sqrt{(x-3)(2x+2)}=x+1 \\ \sqrt{2x^2-6x+2x-6}=x+1 \\ \sqrt{2x^2-4x-6}=x+1 \\ 2x^2-4x-6=(x+1)^2 \\ 2x^2-4x-6=x^2+2x+1 \\ 2x^2-x^2-4x-2x-6-1=0 \\ x^2-6x-7=0 \\ D=(-6)^2-4*(-7)=36+28=64=8^2 \\ x_{1}= \frac{6-8}{2}=-1 \\ x_{2}= \frac{6+8}{2}=7$

Проверка корней:
x= -1
$\sqrt{-1-3}= \sqrt{-4}$
не имеет смысла
х= -1 - не корень уравнения

х=7
$\sqrt{7-3}* \sqrt{2*7+2}=7+1 \\ \sqrt{4}* \sqrt{16}=8 \\ 2*4=8 \\ 8=8$

ответ: 7.