На доске написано число 0. за один ход можно увеличить число на доске на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, но так, чтобы результат не делился на 10. какое наибольшее число может получиться на доске через 118 ходов?
Покажем, как за 118 ходов получить число 1049. Сначала увеличиваем число на 9. Потом 13 раз повторяем одну и ту же операцию: 8 раз увеличиваем число на 9 и один раз увеличиваем число на 8 (одна операция содержит 9 ходов, а 13*9+1=118). В результате 10 первых ходов получим числа 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 89. Поскольку к началу второй операции последняя цифра снова равна 9, последние цифры будут повторяться и среди них не будет цифры 0, то есть, ни на каком шаге полученное число не будет делиться на 10. За одну операцию число увеличится на 8*9+1*8=80. Тогда результат будет равен 9+13*80=1049. Заметим, что всего мы 13 раз прибавили 8 и 118-13=105 раз прибавили 9.
Предположим, что мы смогли получить число, большее 1049. Но тогда мы должны хотя бы 106 раз из 118 прибавить цифру 9 и не более 12 раз прибавить другие цифры. Разобьем последние 117 шагов на 13 групп по 9, тогда хотя бы в одной группе на всех шагах будут прибавляться девятки. Это означает, что на каком-то этапе мы прибавляем девятку 9 раз подряд, при этом число, имеющееся перед первым шагом, не делится на 10. Пусть последняя цифра этого числа равна x, тогда после прибавления x девяток мы получим число, делящееся на 10 (после каждого прибавления девятки последняя цифра числа уменьшается на 1). Поскольку x не превосходит 9, число, кратное 10 будет неизбежно получено, что противоречит условию. Значит, за 118 ходов мы не можем прибавить более 105 девяток и получить число, большее 105*9+13*8=1049.
Алтайские горы состоят из хребтов, имеющих сложное расположение. В горах Алтая типы рельефа разнообразнее, чем на равнинах: имеется низкогорье, среднегорье, высокогорье, участки древних равнин и межгорные котловины. Низкогорье поднимается над равнинами края на 500 м и постепенно переходит в среднегорье с высотами до 2000 м. Низкогорье и среднегорье образовались на месте наклонной поверхности древней равнины и сильно расчленены разрушительной деятельностью воды, ветра, ледников. Для низкогорья и среднегорья характерно веерообразное расположение хребтов, простирающихся с северо-запада на юго-восток. Вершины среднегорных хребтов в основном плоские, иногда округлые, склоны пологие, разделены речными долинами. На водоразделах встречаются участки древней равнины в виде плоских плато.На Алтае расположены поверхности древнего пенеплена. Это горные выровненные массивы, на которых выделяются купола, древние речные долины, изредка встречаются выступы, напоминающие гребни. Склоны массивов древнего пенеплена крутые или ступенчатые. На ровной поверхности пенеплена сохранились четвертичные отложения — моренные гряды, холмы, валуны, ледниковые озера. Водоразделы плоские, заболоченные, почти незаметные. Выровненные поверхности древнего пенеплена занимают примерно около 1/3 всей территории Алтая. Это главным образом южные и юго-восточные районы горной области — плоскогорье Укок, Чулышманское нагорье: Улаганское плато. Встречаются участки пенеплена и в среднегорье (Коргонский, Тигирецкий, Теректинский хребты и др.) и в низкогорье.
Итак, гора Эльбрус ^^ Самая высокая горная вершина России и самая высокая точка Европы. Ее высота - 5621 метр. Название вершины переводится по-разному. Впрочем, любое из названий свидетельствует о величии и красоте Эльбруса. Интересно, что во время Великой Отечественной войны Эльбрус был захвачен фашистами, которые установили на нем нацистские знамена. План фашистской Германии переименовать Эльбрус в «пик Гитлера» был сорван советскими бойцами-альпинистами, которые к зиме 1943 года выбили со склонов Эльбруса немецкие войска. Сегодня покорять Эльбрус стало модно. По склонам проходит не один альпинистский маршрут. Открыт здесь и горнолыжный курорт.
Предположим, что мы смогли получить число, большее 1049. Но тогда мы должны хотя бы 106 раз из 118 прибавить цифру 9 и не более 12 раз прибавить другие цифры. Разобьем последние 117 шагов на 13 групп по 9, тогда хотя бы в одной группе на всех шагах будут прибавляться девятки. Это означает, что на каком-то этапе мы прибавляем девятку 9 раз подряд, при этом число, имеющееся перед первым шагом, не делится на 10. Пусть последняя цифра этого числа равна x, тогда после прибавления x девяток мы получим число, делящееся на 10 (после каждого прибавления девятки последняя цифра числа уменьшается на 1). Поскольку x не превосходит 9, число, кратное 10 будет неизбежно получено, что противоречит условию. Значит, за 118 ходов мы не можем прибавить более 105 девяток и получить число, большее 105*9+13*8=1049.
ответ: 1049.