Question

Тема: комплексные числа. 1. вычислить: (3+2i)*(2-3i)+(3-2i)*(2+3i) 2. выполните действия: (3-2i)квадрате 3. найдите модуль комплексного числа: 8-6i 4. представьте в тригонометрической форме: -2+2i 5. решите уравнения: 1)z(квадрате)=-25; z(квадрате)+4z+20=0 !

Answer 1

$1.~(3+2i)(2-3i)+(3-2i)(2+3i)=6-5i+6+6+5i+6=24\\ \\ 2.~(3-2i)^2=3^2-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i\\ \\ 3.~~z=8-6i;~~~|z|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10\\ \\ 4.~~z=-2+2i$

Модуль комплексного числа: $|z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Поскольку sina > 0 и cosa < 0 то угол находится во второй четверти

$z=2\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})$

5.

$z^2=-25~~~\Rightarrow~~~z^2=25i^2~~~~\Longleftrightarrow ~~~~z=\pm5i\\ \\ z^2+4z+20=0~~~\Leftrightarrow~~~~ (z+2)^2+16=0~~~\Leftrightarrow~~~(z+2)^2=16i^2\\ \\ z+2=\pm4i~~~\Longleftrightarrow~~~~ z=-2\pm4i$