Question

Незнайка написал на одной карточке единицу, на двух — двойку, на трёх — тройку, на четырёх — четвёрку, на пяти — пятёрку, на шести — шестёрку и на семи карточках — семёрку. из полученных 28 карточек он составил 14 двузначных чисел, которые перемножил. результат он забыл, но потом рассказывал всем, что этот результат оканчивался то ли на 2010, то ли на 2012, то ли на 2016. на какие же четыре цифры оканчивался незнайкин результат, если он не ошибся в подсчётах? (все шестёрки незнайка использовал как шестерки, а не как девятки).

Answer 1

Если результат оканчивается на 2010, то можно представить его в виде N=1000k+10. Поскольку число 1000 делится на 4 и делится на 25, а число 10 не делится на 4 и на 25, то число N не делится на 4 и не делится на 25. Тогда среди 14 чисел, вошедших в его произведение, ровно одно четное число и ровно одно, кратное 5, то есть, ровно одно оканчивается на четную цифру и ровно одно на цифру 5 (цифр 0 на карточках нет, поэтому это два разных числа). Тогда оставшиеся 12 чисел могут оканчиваться только на цифры 1, 3, 7. Всего таких карточек 1+3+7=11 штук, значит, это невозможно, получили противоречие.

Аналогично, если результат оканчивается на 2012, то N=1000k+12 и число N не делится на 5 и не делится на 8, тогда ни один из его сомножителей не оканчивается на 5 и не более 2 из его сомножителей оканчиваются на четную цифру. Тогда хотя бы 12 из них оканчиваются на цифры 1, 3, 7, что невозможно.

Заметим, что в последнем случае такие рассуждения не работают: если число оканчивается на 2016, то оно делится на 16. Следовательно, среди 14 сомножителей четыре могут оканчиваться на четную цифру, а остальные 10 на цифры 1, 3, 7, что возможно. Конкретный пример таких 14 чисел строить не требуется.

ответ: 2016.