Question

Как найти область определения выражения?

Answer 1

Область определения выражения - это множество значений, при которых данное выражение имеет смысл.  Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное выражение.

Искать область определения лучше всего методом исключения - отбрасывая все значения, при которых выражение теряет математический смысл.

1) Если в выражении есть знаменатель с переменной, то знаменатель не равен 0.

Пример:

$\frac{x^{2} -8x+3}{x-1}$

$x-1\neq 0\\ \\ x\neq 1$

Область определения:

x∈(-∞; 1)∪(1;+∞)

2) Логарифмическое выражение. Основание логарифма определено при a>0 за исключением a=1. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля.

Пример:

$log_x(x^{2} +3x+2)$

$x0\\\\x\neq 1\\\\x^{2} +3x+20\\ \\ \\(x+2)(x+1)0$

x∈(0; 1)∪(1; +∞)

3) Иррациональные выражения четной степени. Подкоренное выражение должно быть ≥0.

Пример:

$\sqrt[4]{x+10}$

$x+10\geq 0 \\ \\x\geq -10$

x∈[-10; +∞)

Также бывают более сложные и комбинированные выражения. При нахождении области определения всего выражения необходимо учесть все моменты, которые могут привести к ограничению этой области.

Пример:

$\frac{\sqrt{x^{2}-2x-35}}{x+5}$

$\left \{ {x^{2}-2x-35\geq 0 \atop {x+5\neq 0}} \right. \\ \\ \left \{ {(x+5)(x-7)\geq 0 \atop {x\neq -5}} \right.$

x∈(-∞; 5)∪[7; +∞)