Question

Треугольник abc задан вершинами a=(1,2),b=(2,-2),c=(6,1). найти угол между высотой cd и медианой bm

Answer 1

Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂)  имеет вид:

(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)                                                                                                                          Уравнение прямой АВ:

(x-1)/(2-1)=(y-2)/(-2-2)    или  -4(х-1)=у-2     или  4х+у-6=0.                          n₁(4;1)- нормальный вектор прямой АВ.
Координаты нормального вектора прямой СD  легко подбираются устно:  n₂=(-1;4).
У  перпендикулярных прямых нормальные векторы ортогональны, значит их скалярное произведение должно быть равно 0. 

n₁· n₂=4·(-1)+1·4=0
Уравнение прямой, перпендикулярной  прямой АВ имеет вид:  -х+4у+k=0   

Подставляем координаты точки С(6;1) для нахождения  k.     

 -6+4+k=0   ⇒  k=2. Уравнение прямой СD:  -x +4y+2=0

Координаты точки М - середины отрезка АС:

 х=(1+6)/2=3,5, у=(2+1)/2=1,5.
М(3,5; 1,5)
Уравнение прямой ВМ как прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами,

имеет вид: (x-2)/(3,5-2)=(y+2)/(1,5+2) или  3,5(х-2)=1,5(у+2)  или  7х-3у-20=0.

Нормальный вектор прямой ВМ  n₃=(7;-3).

Угол между прямыми СD и ВМ равен углу между их нормальными векторами n₂(-1;4) и n₃(7;-3).
сos α= n₂ ·n₃/ | n₂|·| n₃|=((-1) ·7+4·(-12))/ √((-1)2+42) ·√(72+(-3)2)=

=-19/√(17) ·√(58).
α=arccos( -19/√(17) ·√(58))=π-arccos( 19/√(17) ·√(58))

 это тупой угол, а смежный с ним острый.

В ответе берут острый угол.

 О т в е т.arccos( 19/√(17) ·√(58))