1найти наибольшее и наименьшее значение функции y=корень квадратный x+5,на отрезке [-1; 4] 2исследовать и построить график функции y=x^2-10x+9,y=x^3-3x^2
Добрый день! Давайте разберем ваш вопрос по порядку.
1. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = √(x+5) на отрезке [-1; 4], нужно сначала вычислить значения функции на концах отрезка, а затем найти экстремумы функции внутри этого отрезка.
Начнем с концов отрезка:
- При x = -1: y = √(-1+5) = √4 = 2.
- При x = 4: y = √(4+5) = √9 = 3.
Теперь нужно найти экстремумы функции внутри отрезка [-1; 4]. Для этого найдем значение x, в котором производная функции равна нулю:
y = √(x+5)
y^2 = (x+5)
x = y^2 - 5
Берем первую производную функции:
(y^2 - 5)' = 2y
Теперь найдем значения y и затем подставим их в формулу x = y^2 - 5:
- При y = 0: x = 0^2 - 5 = -5.
- При y = 2: x = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1.
- При y = 3: x = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4.
Теперь сравним полученные значения функции с значениями на концах отрезка:
- Наименьшее значение функции равно y = √(-1+5) = 2 и достигается при x = -1.
- Наибольшее значение функции равно y = √(4+5) = 3 и достигается при x = 4.
Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-1; 4] равно 3 и достигается при x = 4, а наименьшее значение равно 2 и достигается при x = -1.
2. Для исследования и построения графика функций y = x^2 - 10x + 9 и y = x^3 - 3x^2, воспользуемся несколькими шагами:
a) Найдем корни уравнений y = x^2 - 10x + 9 и y = x^3 - 3x^2. Для этого приравняем каждое из уравнений к нулю и решим полученные квадратные и кубические уравнения.
- Для y = x^2 - 10x + 9:
x^2 - 10x + 9 = 0
(x - 1)(x - 9) = 0
x = 1 или x = 9.
- Для y = x^3 - 3x^2:
x^3 - 3x^2 = 0
x^2(x - 3) = 0
x = 0 или x = 3.
Таким образом, у функции y = x^2 - 10x + 9 есть два корня: x = 1 и x = 9, а у функции y = x^3 - 3x^2 есть два корня: x = 0 и x = 3.
b) Найдем вершину параболы функции y = x^2 - 10x + 9. Для этого воспользуемся формулой x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.
В нашем случае a = 1 и b = -10:
x = -(-10)/(2*1) = 10/2 = 5.
Теперь найдем значение y при x = 5:
y = (5)^2 - 10(5) + 9
= 25 - 50 + 9
= -16.
Таким образом, вершина параболы функции y = x^2 - 10x + 9 находится в точке (5, -16).
c) Визуализируем графики функций y = x^2 - 10x + 9 и y = x^3 - 3x^2.
- График функции y = x^2 - 10x + 9:
Вершина параболы находится в точке (5, -16). Также, учитывая корни x = 1 и x = 9, мы можем провести пунктирные вертикальные линии через эти точки на графике. Из вершины параболы (5, -16) проведем пунктирную горизонтальную линию. С помощью этих линий и знания того, что парабола имеет форму "вверх", мы можем построить график.
- График функции y = x^3 - 3x^2:
Учитывая корни x = 0 и x = 3, мы можем провести пунктирные вертикальные линии через эти точки на графике. Из вершины графика (0, 0) проведем пунктирную прямую линию. С помощью этих линий и знания того, что график является кубической кривой, мы можем построить график.
Важно отметить, что без точной математической информации о масштабе и других характеристиках, графики могут быть только приближенными представлениями и не могут быть точно изображены в этом формате. Однако, эти шаги могут помочь вам понять форму и основные особенности графиков данных функций.
Надеюсь, мой ответ был полезным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь.
