Даны вершины треугольника: А(8; 5), В(2; 7), С(7; 6).
1) уравнение стороны АВ.
Находим вектор АВ
АВ = (2-8; 7-5) = (-6; 2), |AB| = √((-6)² + 2²) = √40 = 2√10 ≈ 6,3246,
Уравнение АВ: (x - 8)/(-6) = (y - 5)/2 каноническое,
x + 3у - 23 = 0 общее,
у = (-1/3)x + (23/3) с угловым коэффициентом.
2) Высота CD это перпендикуляр к стороне АВ.
Уравнение прямой АB x + 3y – 23 = 0 в общем виде Ах + Ву + С = 0.
Уравнение перпендикуляра имеет коэффициенты по сравнению с А и B, равные В и –А из условия, что их скалярное произведение равно 0:
3х - у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки C(7; 6):
3*7 - 1*6 + С = 0, отсюда С = - 21 + 6 = -15.
Получаем уравнение высоты CD в общем виде:
CD = 3х - у - 15 = 0.
Длину высоты CD можно получить двумя :
а) найти по Герону площадь S, тогда h(CD) = 2S/AB.
Вычисляем:
Координаты векторов сторон
АВ (c) BC (a) AС (b)
x y x y x y
-6 2 5 -1 -1 1
Длины сторон АВ (с) = √(36+ 4)= √40= 6,32456
BC (а) = √(25+ 1)= √26= 5,09902
AC (b) = √(1+ 1)= √2= 1,41421
Периметр Р = 12,8378
Полупериметр р = 6,41889
Площадь по Герону: S = √( 6,4189*0,09434*1,31987*5,00468) = 2.
Сторона AB = 2√10 ≈ 6,3246.
|CD| = 2*2/ 2√10 = √10/5 = 0,63246.
б) найти координаты точки D как точку пересечения прямой АB и высоты CD, решив систему:
{AB: x + 3y – 23 = 0 x + 3y - 23 = 0
{CD: 3х - у - 15 = 0 |x(3) = 9x - 3y - 45 =0
10x - 68 = 0,
x(D) = 68/10 = 6,8,
y(D) = 3x - 15 = 3*6,8 – 15 = 20,4 – 15 = 5,4.
Точка D(6,8; 5,4).
По разности координат находим CD. Точка C (7; 6)
CD = √((6,8 - 7)² + (5,4 – 6)²)= √((-0,2)² + (-0,6)²) =√0,4 ≈ 0,63246.
3) Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М = ((8+7)/2; (5+6)/2) = (7,5; 5,5).
Вектор ВМ = (7,5-2; 5,5*-7) = (5,5; -1,5), модуль равен √(30,25+2,25) =√32,5 ≈ 5,70088.
Получаем уравнение ВМ: (x – 2)/5,5 = (y – 7)/(-1,5) или 3x + 11y – 83 = 0.
Угол α между высотой CD и медианой ВМ находим по косинусу угла между векторами CD и ВM.
Вектор CD = (-0,2; -0,6), модуль √0,4.
Вектор ВM = (5,5; -1,5), модуль √32,5.
cos α = |-0,2*5,5 + (-0,6)*(-1,5)|/(√0,4*√32,5) = |-0,2|/√13 ≈ 0,05547.
α = arccos 0,05547 = 1,5153 радиан или 86,8202 градуса.
Краткое решение ниже, вот подробные пояснения по поводу каждого шага.
Для начала переведем километры в метры, чтобы было проще считать.
км = 
м => 
км = 
м - работа 
Теперь, исходя из данных о скоростях обеих бригад, вычислим скорость второй.
Скорость первой бригады 
= 
м/день
Скорость второй бригады 
= 
м/день = 
м/день
Общая скорость = скорость 1 + скорость 2, следовательно:
Скорость, если обе бригады будут работать вместе: 
м/день
Теперь вспомним формулу нахождения работы, через нее выразим формулу нахождения времени при данной работе и скорости.
, где 
- работа, 
- скорость, 
- время.
Подставим данные в формулу.
дней уйдет на асфальтирование дороги.
ответ: 
дней.
Если решать задачу по действиям (краткое решение):
1) м/день - скорость второй бригады.
2) 
день - общая скорость бригад, если они будут работать вместе.
3) 
дней - затраченное время.
ответ: дней.
