1) Составим уравнение плоскости (ABC). Оно имеет вид: ax+by+cz+d=0 Плоскость проходит через три точки A, B, C, поэтому справедливо следующее: Для A(4;3;0): 4a+3b+d=0 Для B(3;5;-1): 3a+5b-c+d=0 Для C(1;3;3): a+3b+3c+d=0 Получили систему из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Сразу же примем a=1, чтобы система решилась однозначно. (1) 3b+d=-4 (2) 5b-c+d=-3 (3) 3b+3c+d=-1 Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к третьему, получим: 18b+4d=-10 или 9b+2d=-5 (4) Умножим первое уравнение на -2 и сложим с (4). -6b+9b-4d+4d=8-5 3b=3, b=1 Далее из (1) выразим d: d = -4-3b=-7 Далее из (2) выразим c: c = 5b+d+3=5-7+3=1. Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: x+y+z-7=0. Теперь можно найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости (ABC): ρ(D, (ABC))=|1*5+1*3+1*1-7|/sqrt(1^2+1^2+1^2)=2/sqrt(3)=2*sqrt(3)/3.
Один корень у этого уравнения известен при любом а: ln(4x - 2) = 0 4x - 2 = 1 x = 3/4 ∈ [0; 2] Нам надо, чтобы на этом отрезке был только один корень. Это может быть в двух случаях: 1) Уравнение √(x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 корней не имеет. Тогда x^2 - 4x + 4a - a^2 = 0 тоже корней не имеет. Значит, D < 0. D = 4^2 - 4(4a - a^2) = 16 - 16a + 4a^2 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2 < 0 Такого не может быть, квадрат выражения всегда неотрицательный. Значит, остается второй случай. 2) Уравнение √(x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 имеет корни, но они не ∈ [0; 2] Тут тоже возможно 2 варианта: 2а) Уравнение имеет 1 корень. D = 4(a - 2)^2 = 0. а = 2. Тогда x^2 - 4x + 4*2 - 2^2 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 x = 2 ∈ [0; 2] - нам этот вариант не подходит. 2б) Уравнение имеет 2 корня. D = 4(a - 2)^2 = (2a - 4)^2 > 0. a ≠ 2. Тогда x1 = (4 - (2a - 4))/2 = (8 - 2a)/2 = 4 - a x2 = (4 + (2a - 4))/2 = 2a/2 = a Здесь опять возможны варианты. 3а) x1 < 0; x2 < 0 { 4 - a < 0; a > 4 { a < 0 Решений нет. 3б) x1 < 0, x2 > 2 { 4 - a < 0; a > 4 { a > 2 Решение: a > 4 3в) x1 > 2, x2 < 0 { 4 - a > 2; a < 2 { a < 0 Решение: a < 0 3г) x1 > 2, x2 > 2 { 4 - a > 2; a < 2 { a > 2 Решений нет.
ответ: При a ∈ (-oo; 0) U (4; +oo) уравнение имеет 1 корень на [0; 2].
