2. Угол при основании равнобедренного треугольника АВС равен 32º, АВ -его боковая сторона, АМ- биссектриса треугольника. Найдите углы треугольника АВМ. (Рассмотрите два случая.)
1) ∠В=180º - 32º*2 = 116º
Так как АМ – биссектриса ∠ВАМ=32:2=16º
∠АМВ=180 – 116-16=48º
2) Из Δ АМС ∠ АМС= 180 – 32-16= 132º
∠АМВ и ∠АМС смежные, значит ∠АМВ=180-132=48º
∠В= 180º- ∠ВАМ -∠АМВ =180-48-16=116º
3. К прямой т проведены перпендикуляры АВ и СD. Докажите, что ∆ АВD=∆ CDB, если AD = BC.
АВ и СD перпендикуляры, значит ∠ ВDС и ∠ АВD =90 º . В четырехугольнике АВDС два угла прямоугольные, а диагонали равны AD = BC. Значит АВDС – прямоугольник. У прямоугольника противоположные стороны равны.
АВ=СD , AD = BC, ВD – общая сторона.
∆ АВD=∆ CDB по трем равным сторонам.
4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике MOP на гипотенузе МP отмечена точка К. Известно, что ∠OKP в 4 раза больше, чем ∠МОК. Найдите углы треугольника МОК.
Δ МОК прямоугольный равнобедренный.
∠М=∠Р = 90º:2=45º
∠ОКР=4*∠МОК
Из теоремы о внешних углах ∠М= ∠ОКР-∠МОК
∠М= 4*∠МОК-∠МОК=3∠МОК
∠МОК = 45º:3=15º
∠ МКО=180º - 45º -15º = 120º
Или ∠МКО= 180º - 4*15º=120º
7. В окружности с центром О проведена хорда ВС. Найдите ∠OВС и ∠ВOС, если один из них на 36 º больше другого.
Δ ОВС равнобедренный ВО=ОС= r , значит прилежащие к основанию углы равны.
∠OВС=∠OСВ =хº
2х+х+36 =180
3х = 144
х = 48
∠OВС=∠OСВ =48º
∠ВOС= 48º+36º=84º
Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,-1,6), В (-5,-1,0), С (4,0,0).
Знайти:
а) довжину та рівняння медіани АЕ, точка Е=(В+С)/2 = (-0,5; -0,5; 0).
Вектор АЕ = (-1,5; 0,5; -6), его длина равна√(2,25+0,25+36) = 6,204837.
Уравнение АЕ: (x - 1)/(-1,5) = (y + 1)/(0,5) = (z - 6)/(-6)
б) площу трикутника.
Находим векторы ВА и ВС.
ВА = (6; 0; 6), ВС = (9; 1; 0). S = (1/2)*{BAxBC}.
I j k| i j
6 0 6| 6 0
9 1 0| 9 1 = 0i + 54j + 6k - 0j - 6i - 0k = -6i + 54j + 6k.
Модуль равен √(36 + 2916 + 36) = √2988 ≈ 54,66260.
S = (1/2)*54,66260 = 27,33130.
в) косинус кута В = (6*9+0*1+0*0)/(√72*√82) =54/√5904 = 54/
76,83749085 = 0,702781928.
г) довжину висоти АД; h(AD) = 2S/|BC| = 2*27,33130/√82 = 6,0364745.
д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.
А (1,-1,6), В (-5,-1,0), С (4,0,0).
У этой прямой вектор сохраняется такой же, как и у АВ = (-6; 0; -6).
Точка Е (-0,5; -0,5; 0)
(x + 0,5)/(-6) = (y + 0,5)/0 = z/(-6).
В этом случае в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямая лежит в плоскости, которая параллельна координатной плоскости Oxz.
