Как доказать тождество?
Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».
В случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно вычислить правую и левую части.
Пример. Доказать тождество
(
2
,
5
+
5
⋅
6
15
)
2
=
22
−
1
,
75
.
(
2
,
5
+
5
⋅
6
15
)
2
=
22
−
1
,
75
(
2
,
5
+
6
3
)
2
=
20
,
25
(
2
,
5
+
2
)
2
=
20
,
25
(
4
,
5
)
2
=
20
,
25
20
,
25
=
20
,
25
Тождество доказано.
В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:
Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
Преобразовывать только левую или только правую часть.
Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.
Пример. Доказать тождество
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
b
)
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
.
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
b
)
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
Работаем с левой частью, не трогая правую.
С формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…
a
2
+
2
a
b
+
b
2
+
a
2
−
2
a
b
+
b
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
…затем приводим подобные слагаемые,…
2
a
2
+
2
b
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
…после чего вынесем за скобку двойку.
2
(
a
2
+
b
2
)
=
2
(
a
2
+
b
2
)
Обе части равны - тождество доказано
Пример. Доказать тождество
x
2
+
1
x
2
=
(
x
+
1
x
)
2
−
2
.
x
2
+
1
x
2
=
(
x
+
1
x
)
2
−
2
Преобразуем правую часть, не трогая левую.
Раскроем скобки с формулы квадрата суммы,…
x
2
+
1
x
2
=
x
2
+
2
x
⋅
1
x
+
1
x
2
−
2
…у одно из слагаемых, сократив
x
и
1
x
, …
x
2
+
1
x
2
=
x
2
+
2
+
1
x
2
−
2
… и приводим подобные слагаемые (
2
и
−
2
).
x
2
+
1
x
2
=
x
2
+
1
x
2
Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.
ВОТ ТЕ ПОДСКАЗКА КАК ДЕЛАТЬ)))
1. Сравните: 1) 12,598 < 12,6 (12.6=12.600 => 598<600)
2) 0,257 > 0, 2569 (0.257=0.2570 => 2570>2569)
2. Округлите: 1) 17,56≈17.6;
2) 0,5864≈0.586
3. 1) 4,36
+27.647
32.007
2) 32,4
– 17,23
15.17
3) 50 – 22,475=50-22-0.475=28-0.475=27+(1-0.475)=27+0.525=27.525
4. Дано: v(собственно катер)=18.3 км/ч
v(собственно катер)+v(река)=19.6 км/ч
Найти: v(собственно катер)-v(река)
1. 19.6-18.3=1.3 км/ч - скорость реки
2. 18.3-1.3=17 км/ч
ответ: Скорость катера против течения = 17 км/ч
5. 1 ц=100 кг - 1 кг=0.01 ц
1) 6,7 ц + 584 кг=6.7 ц+5.84 ц=12.54 ц;
2) 6 ц 2 кг – 487 кг=602 кг-487 кг=115 кг=1 ц 15 кг
6. Дано: треугольник со сторонами, длиной:
1 сторона(a) = 3.7 см
2 сторона(b) = 3.7-0.9
3 сторона(c) = 3.7+1.2
Найти: периметр треугольника
Р=a+b+c
P=3.7+3.7-0.9+3.7+1.2=
3*3.7+0.3=
11.1+0.3=11.4 см
ответ: Р=11.4 см
7. 7.87 < 7.871; 7.88; 7.889 < 7.89
8. 1) (6,73 + 4,594) – 2,73 = 8.594
1. 6.73-2.73=(6-2)+(0.73-0.73)=4+0=4
2. 4+4.594=(4+4)+0.594=8+0.594=8.594
2) 0,791 – (0,291 + 0,196) =
1. 0.791-0.291=0.5
2. 0.5-0.196=0.500-0.196=0.304
