Question

Используя метод интервалов найдите промежутки знако-постоянства функции: y=x^3+4x^2+6x/x^2+2x-3

Answer 1

$y= \frac{x^3+4x^2+6x}{x^2+2x-3}$
Находим область определения функции, проверим обращается ли знаменатель в ноль:
x²+2x-3=0
D=2²-4*(-3)=4+12=16=4²
x=(-2-4)/2=-3
x=(-2+4)/2=1
В точках -3 и 1 знаменатель обращается в 0, а на 0 делить нельзя, значит эти точки не войдут в область определения функции.
Нулевым может быт числитель, поэтому рассмотрим уравнение
x³+4x²+6x=0
x(x²+4x+6)=0
x=0   x²+4x+6=0
         D=4²-4*6=16-24=-8<0 - нет пересечения с осью ОХ.
Получается, что числитель равен 0 только при х=0.
Откладываем все полученные точки на числовой прямой

----------------(-3)------------------(0)--------------(1)-----------------
Определим знаки функции на полученных интервалах
y=((-4)³+4*(-4)²+6*(-4))/((-4)²+2*(-4)-3)=(-64+64-24)/(16-8-3)=-24/5
y=((-2)³+4*(-2)²+6*(-2))/((-2)²+2*(-2)-3)=(-8+16-12)/(4-4-3)=-4/-3=4/3
y=(0,5³+4*(0,5)²+6*(0,5))/(0,5²+2*(0,5)-3)= здесь числитель положительный, а знаменатель 0,25+1-3=-1,75 значит знак функции "-"
y=(2³+4*2²+6*2)/(2²+2*2-3) - не считая видно, что знак функции "+".
Расставим полученные знаки на интервалах
           -                        +                      -                      +
-----------------(-3)-----------------(0)---------------(1)--------------------
ответ:
f(x)>0 при x∈(-3;0)∪(1;+∞)
f(x)<0 при x∈(-∞;-3)∪(0;1)