Пошаговое объяснение:
y'' +2y' = 3ex(cos(x)+sin(x))
Решение уравнения будем искать в виде y = erx с калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +2 r + 0 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 0 = 4
Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = ex(Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))
y'' = 2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 2y' = (2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))) + 2(ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
или
-4•A•ex•sin(x)+2•A•ex•cos(x)+2•B•ex•sin(x)+4•B•ex•cos(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A + 2B = 3
2A + 4B = 3
Решая ее методом обратной матрицы, находим:
A = -3/10;B = 9/10;
Частное решение имеет вид:
y* = ex(-3/10cos(x) + 9/10sin(x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Мама и ее дочки Маша и Даша делают уборку в квартире. Маша может выполнить всю работу за 3 часа, Даша работает вдвое медленнее, а мама может убрать всю квартиру за то же время, которое нужно Маше с Дашей, если они будут работать вдвоем.
Верно ли утверждение?
1) За 1 час Даша выполнит 1/6 часть всей работы.
2) Мама работает в раза быстрее Маши.
3) Если они будут работать втроем, то им понадобится на эту работу ровно час.
примем
время работы Маши по уборке квартиры - А=3час
время работы Даши по уборке квартиры - В=А*2=6 час
время работы мамы по уборке квартиры - С, час
1- полная уборка квартиры
тогда
когда Даша и Маша работают вместе:
х/3+х/6=1 ---> х1=2 час
значит С=2 час
когда мама, Даша и Маша работают вместе:
х/2+х/3+х/6=1 ---> х2=1 час
1) Верно т.к.время уборки Даши всей квартиры составляет 6 часов,то значит Даша за 1 час своей работы уберет 1/6 квартиры
2)3/2=1,5, - мама работает в 1,5 раза быстрей Маши
3) Верно т.к х2=1 час (время уборки мамы и двух ее дочерей)