Question

Решить, с подробным, пошаговым объяснением решить уравнение над полем комплексных чисел x^2-(2+i)x+(-1+7i)=0

Answer 1

D = (2+i)^2 - 4*(-1+7i) = 4+4i+(i^2) + 4 - 28i = 8 - 24i - 1 = 7 - 24i,
$x = \frac{2+i + \sqrt{D}}{2}$ (формула-1)
$\sqrt{D}$ может принимать несколько значений.
$\sqrt{D} = w = u+vi,$
u, v - считаем вещественными.
$D = w^2 = (u+vi)^2 = u^2 +2uvi + v^2 \cdot i^2 = u^2 - v^2 + 2uvi$
$7-24i = u^2 - v^2 + 2uvi$
Имеем систему из двух (вещественных) уравнений:
$7= u^2 - v^2$ и
$-24 = 2uv$.
Решаем ее.
$uv=-12, v = -12/u,$
$7 = u^2 - (\frac{-12}{u})^2,$
$u^2 - \frac{144}{u^2} = 7$
$u^4 - 7u^2 - 144 = 0$
Это биквадратное уравнение.
$D_2 = 7^2 + 4\cdot 144 = 625 = 25^2$
$u^2 = \frac{7 \pm 25}{2}$
Отрицательное значение для u^2 здесь не подходит (ведь u - вещественное)
$u^2 = \frac{32}{2} = 16$
$u = \pm 4$.
$u_1 = 4, v_1 = -\frac{12}{4} = -3$
$u_2 = -4, v_2 = -\frac{12}{-4} = 3$
$\sqrt{D} = u + vi$.
Теперь по (формуле -1), получаем
$x_1 = \frac{ 2+i + 4 - 3i}{2} = \frac{6-2i}{2} = 3-i$
$x_2 = \frac{ 2+i - 4 + 3i}{2} = \frac{-2+4i}{2} = -1+2i,$.