12 : (4/5х) = 20 : 1/4 5/6 = 15/(2х - 3)
4/5х * 20 = 12 * 1/4 5 : 6 = 15 : (2х - 3)
80/5х = 12 : 4 6 * 15 = 5 * (2х - 3)
16х = 3 90 = 10х - 15
х = 3 : 16 90 + 15 = 10х
х = 3/16 105 = 10х
х = 105 : 10
х = 10,5
(15/2)/(9/2) = х - 3/25
15/2 * 2/9 = х - 3/25
15/9 = х - 3/25
5/3 + 3/25 = х
х = 125/75 + 9/75 = 134/75 = 1 59/75
ответ: 1) dz=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²; 2) функция имеет максимум в точке M(2/3; 1/3).
Пошаговое объяснение:
1) z=e^(x/y)
Находим частные производные:
dz/dx=1/y*e^(x/y), dz/dy=-x/y²*e^(x/y).
Полный дифференциал dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²
2) Находим первые частные производные:
dz/dx=2*y+2*x-2; dz/dy=2*x+8*y-4.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
x+y-1=0
x+4*y-2=0
Решая её, находим x=2/3, y=1/3 - координаты единственной критической точки М(2/3; 1/3).
Находим вторые частные производные:
d²z/dx²=2; d²z/dxdy=2; d²z/dy²=8. Так как они суть постоянные числа, то и в критической точке они будут иметь те же значения:
A=d²z/dx²(M)=2; B=d²z/dxdy(M)=2; C=d²z/dy²(M)=8.
Так как выражение A*C-B²=2*8-4=12>0, то есть положительно, то в точке М функция действительно имеет экстремум. А так как при этом A=2>0, то этот экстремум является максимумом.
