Question

Tgx*cos3x+sin3x=sin4x с подробным решением, . и число корней входящих в отрезок [п/4; 7п/4]

Answer 1

$tg(x)\cdot \cos 3x+\sin3x=\sin4x\\ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot(4\cos^3x-3\cos x)+3\sin x-4\sin^3 x=2\sin2x\cos2x\\ \\ \sin x(4\cos^2x-3)+3\sin x-4\sin^3x=2\sin2x\cos2x\\ \\ 4\cos^2x\sin x-3\sin x+3\sin x-4\sin^3x=2\sin2x\cos2x\\ \\ 4\cos^2x\sin x-4\sin^3x-4\sin x\cos x=0\\ \\ 4\sin x(\cos^2x-\sin^2x-\cos x\cos 2x)=0\\ \boxed{\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x}\\ 4\sin x(\cos2x-\cos x\cos2x)=0\\ 4\sin x\cos 2x(1-\cos x)=0$

Произведение равно нулю
$\left[\begin{array}{ccc}4\sin x=0\\ \cos 2x=0\\ 1-\cos x=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\sin x=0\\\cos2x=0\\ \cos x=1\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x= \pi k,k \in Z\\ x= \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi n}{2},n \in Z\\ x=2\pi n,n \in Z \end{array}\right$

Отбор корней
$k=1;\,\,\,\,x=\pi\\ n=0;\,\,\,\,x= \frac{\pi}{4} \\ n=1;\,\,\,\,x= \frac{3\pi}{4} \\n=2;\,\,\,\,x= \frac{5\pi}{4} \\n=3;\,\,\,\,x= \frac{7\pi}{4}$