Question

Найти область определения функции( ) y=⁴√((x^4+5*x^2-6)/(x^2-4)) y=корень 4 степени из (x^4+5*x^2-6)/(x^2-4)

Answer 1

$\displaystyle y=\sqrt[4]{\frac{x^4+5x^2-6}{x^2-4}}= \sqrt[4]{\frac{(x-1)(x+1)(x^2+6)}{(x-2)(x+2)}}; \ x \neq \pm 2; \\ \\ \frac{(x-1)(x+1)(x^2+6)}{(x-2)(x+2)} \geq 0; \qquad \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\geq 0; \\ \\ (x \leq -2 \cup -1 \leq x \leq 1 \cup x \geq 2) \cap x \neq \pm2; \\ x\ \textless \ 2 \cup -1 \leq x \leq 1 \cup x\ \textgreater \ 2; \\ \\ x \in(-\infty;2) \cup [-1;1]\cup (2;\infty)$

А теперь, как все это получилось.
ОДЗ x≠-2 и x≠2 получается из условия недопустимости деления на ноль.
Как разложить на множители знаменатель x²-4 понятно, надеюсь.
Корень четной степени. Его ОДЗ - область неотрицательных значений подкоренного выражения. Следовательно, надо решить соответствующее неравенство.
Самая большая проблема - найти области изменения знаков в числителе x⁴+5x²-6. Попробуем разложить его на множители, для чего составим и решим биквадратное уравнение x⁴+5x²-6=0
Обозначая z=x², получим z²+5z-6=0.
D=25+24=49; √D=7; z₁=(-5-7)/2=-6; z₂=(-5+7)/2=1
Очевидно, что x²≠ -6, поскольку x²≥0, поэтому z₁=-6 не рассматриваем.
x²=1 → x₁=-1; x₂=1.
Мы нашли два корня, что позволяет записать
x⁴+5x²-6 = (x-1)(x+1)R, где R - некий оставшийся сомножитель.
Он соответствует неразрешенному нам варианту решения x²=-6 и окончательно получаем x⁴+5x²-6 = (x-1)(x+1)(x²+6), что мы и записываем в числителе.
Остается определить знаки справа и слева от характерных точек x=-2;-1;1;2 (см. вложение)