Question

Даны уравнения двух сторон ромба x-4y+7=0 ; 3x+y-5=0 и одна из его вершин m(5,1).составить уравнение диагоналей ромба. с подробным решением

Answer 1

Находим вершину как точку пересечения заданных прямых:
х-4у+7 = 0|           х-4у+7 = 0         
3х+у-5 = 0|x4 = 12x+4у-20 = 0.  
                       
                         13x     -13 = 0,
                             x = 13/13 = 1.
y = -3x+5 = -3*1+5 = 2.
Пусть это точка А(1;2).
Выясним, принадлежит ли точка М(5;1) заданным прямым:
 x-4y+7=0    5-4*1+7 = 8 ≠0,
3x+y-5=0    3*5+1-5 = 11 ≠0.
Значит, точка М на одной диагонали с точкой А.
Находим координаты точки О - точки пересечения диагоналей как середину АМ:
О((1+5)/2=3; (2+1)/2=1,5) = (3;1,5).
Находим уравнение прямой через точку М(5;1), параллельную прямой 3х+у-5 = 0. Пересечение этой прямой с прямой х-4у+7=0 даст точку В.
ВМ: 3(х-5)+1(у-1)=0,
        3х-15+у-1=0
        3х+у-16=0.
По схеме, по которой найдена точка А, находим координаты точки В:
  х-4у+7=0,            х-4у+7=0,
3х+у-16=0|x4 =  12х+4у-64=0.
                        .
                          13x    -57 =0
                          x= 57/13,
  y = -3x+16 = -3*57/13+16 = (-171+208)/13 = 37/13.
По координатам точек В и О находим уравнение диагонали ВС:
Уравнение в виде y = k · x + b .
В этом уравнении:
k - угловой коэффициент прямой (k = tg(φ), φ - угол, который образует данная прямая с положительным направлением оси OX);
b - y-координата точки (0; b), в которой искомая прямая пересекает ось OY.
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1,5 - (2,846154)) / (3 - (4,384615)) = 0,972;
b = yB - k · xB = 1.5 - (0,972) · (3) = yA - k · xA = 2,846154 - (0,972) · (4,384615) = -1,417 .
Искомое уравнение: y = 0,972x - 1,417 .

Аналогично находим уравнение диагонали АМ:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (2)) / (5 - (1)) = -0,25;
b = yB - k · xB = 1 - (-0,25) · (5) = yA - k · xA = 2 - (-0.25) · (1) = 2,25 .
Искомое уравнение: y = -0,25x + 2,25 .