(1) не получить ни одной шестерки при шести бросаниях: (5/6)⁶ получить не менее одной шестерки при шести бросаниях 1- (5/6)⁶ (2) не получить ни одной шестерки при 12 бросаниях: (5/6)¹² получить одну шестерку при 12 бросаниях: 12*(1/6)*(5/6)¹¹ получить не менее 2-х шестерок при 12 бросаниях: 1-(5/6)¹²- 12*(1/6)*(5/6)¹¹ (3) сравниваем (1) и (2) (берем разность и смотрим ее знак): 1- (5/6)⁶ -( 1-(5/6)¹²- 12*(1/6)*(5/6)¹¹)= =(6¹² - 5⁶*6⁶-(6¹² - 5¹² - 12*5¹¹))/6¹² берем только числитель и смотрим его знак: (6¹² - 5⁶*6⁶-6¹² + 5¹² + 12*5¹¹) = = - 5⁶*6⁶ + 5¹² + 12*5¹¹ = 5⁶*(5⁶ + 12*5⁵ - 6⁶) берем величину в скобках: 17*5⁵-6⁶=17*25*125-216²=6469>0 таким образом, получить не менее одной шестерки при шести бросаниях более вероятно, чем получить не менее 2-х шестерок при 12 бросаниях
Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение. z = 5*x^2*y+3*x*y^2 Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1;1)
или
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0). Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А. б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2). z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение. Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти: 1) gradu в точке A(5; 3; 0); 2) производную в точке А в направлении вектора . Решение. 1. . Найдем частные производные функции u в точке А. ;; , . Тогда 2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле . Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор вектора . , где . Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. Решение. Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1;1)
или
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает
