Question

Дано координаты точек а(0; 0; -3) b(-1; 2; 0) c(-2; 2; -2) d(4; -1; -4) 1) найти угол abc 2) посчитать площадь грани abc 3)определить длину высоты de пирамиды abcd

Answer 1

1) Найти угол ABC.
А(0;0;-3) B(-1;2;0)  находим вектор АВ: (-1;2;3),
А(0;0;-3) C(-2;2;-2) находим вектор АС: (-2;2;1).
$cos \alpha = \frac{-1*(-2)+2*2+3*1}{ \sqrt{1+4+9}* \sqrt{4+4+1} } = \frac{2+4+3}{ \sqrt{14}* \sqrt{9} } = \frac{9}{ \sqrt{14}*3 }= \frac{3}{ \sqrt{14} }$ ≈  0.801784.
Угол равен $\alpha =arc cos \frac{3}{ \sqrt{14} } =$  0,640522 радиан = 36,69923°.

2) посчитать площадь грани ABC .
На основе найденных векторов АВ и АС:
S = (1/2)|a × b|.

Найдем векторное произведение векторов:

c = a × b

a × b  = i (2·1 - 3·2) - j ((-1)·1 - 3·(-2)) + k ((-1)·2 - 2·(-2)) = 

 = i (2 - 6) - j (-1 + 6) + k (-2 + 4) = {-4; -5; 2}

Найдем модуль вектора:

|c| = √cx² + cy² + cz² = √((-4)² + (-5)² + 2²) = √(16 + 25 + 4) = √45 = 3√5

Найдем площадь треугольника:

S = (1/2)3√5 = 3√5/2 ≈ 3.354101966.

3) определить длину высоты DE пирамиды ABCD.
Найдём уравнение плоскости АВС:

x - 0   y - 0    z - (-3)

  -1       2          3

  -2        2          1 = 0.

(x - 0)(2·1-3·2) - (y - 0)(-1)·1-3·(-2) + (z - (-3)(-1)·2-2·(-2) = 0.

(-4)(x - 0) + (-5)(y - 0) + 2(z - (-3)) = 0.

 - 4x - 5y + 2z + 6 = 0.

Теперь найдём расстояние от точки Д(4;1;-4) до плоскости АВС:

используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные

d = |-4·4 + (-5)·1 + 2·(-4) + 6|/√(-4)² + (-5)² + 2²) = |-16 - 5 - 8 + 6| /√(16 + 25 + 4)= 23/√45 = 23√515 ≈ 3.428637.