Найдите объем правильной треугольной пирамиды , середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на растояния 2 и √11 соответственно
Пусть имеем правильную пирамиду АВСS, Проведём осевое сечение через ребро ВS. Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS. Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ. Это будут заданные расстояния МЕ = 2 и МК = √11.
По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h. Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.
sinДSO = 2/x, sinВSO = √11/х. Из точки О опустим перпендикуляр ОК1 на SВ, его длина равна 2МК = 2√11. Из треугольника ОК1В находим ОВ = ОК1/sinВSO или (2/3)h = 2√11/(√11/x). Отсюда h = 3x, ОД = х, ОВ = 2х. Из треугольника ДSO по Пифагору находим ДS = √(ОД²+SO²) = √(х²+(2х)²) = х√5. А так как sinДSO = 2/х = ДО/ДS = х/(х√5), то есть 2/х =1/√5. Отсюда х = 2√5, высота пирамиды Н = 2х = 4√5. Высота h = ВД = 3х =3*2√5 = 6√5. Теперь находим сторону основания: а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15. Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 = = 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3. Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15 ≈ 309,8387 куб.ед.
Решим задачу методом подбора: 1). По первому условию задачи понятно, что число орехов должно делиться на 5 с остатком 3 (потому что только одному ученику досталось 3 ореха). Это могут быть числа числа 5 * 3 + 3; 6 * 3 + 3; 7 * 3 + 3 и т.д. 2). Подбором находим, что число орехов: 16 * 5 + 3 = 83 - подходит. Выходит, что было всего 17 учеников, одному дали три ореха, остальным - по пять. 3). Тогда если 17 ученикам дать по 4 ореха, то будет роздано: 17 * 4 = 68 (орехов) И останется: 83 - 68 = 15 (орехов) ответ: всего было 83 ореха.
Поскольку раздавали по 5 и 4 ореха (5-4=1 орех разницы, значит можно найти кол-во учеников по остатку) 1) 5-3=2 ореха не хватает, чтобы всем ученикам досталось по 5 орехов 2) 15+2=17 ученикам раздавали орехи 3) 17*4+15=83 ореха было изначально Проверка, если по 5 орехов раздавать: 5*(16-1)+3=83 ответ 83 ореха
Поскольку раздавали по 4 и 5 конфет (5-4=1 конфеты разницы, значит можно найти кол-во детей по остатку конфет) 1) 3+2=5 детей у мамы 2) 5*4+3=23 конфеты изначально Проверка, если по 5 конфет: 5*5-2=23 конфеты ответ 23 конфеты
Проведём осевое сечение через ребро ВS.
Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS.
Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ.
Это будут заданные расстояния МЕ = 2 и МК = √11.
По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h.
Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.
sinДSO = 2/x, sinВSO = √11/х.
Из точки О опустим перпендикуляр ОК1 на SВ, его длина равна 2МК = 2√11.
Из треугольника ОК1В находим ОВ = ОК1/sinВSO или (2/3)h = 2√11/(√11/x). Отсюда h = 3x, ОД = х, ОВ = 2х.
Из треугольника ДSO по Пифагору находим ДS = √(ОД²+SO²) = √(х²+(2х)²) = х√5.
А так как sinДSO = 2/х = ДО/ДS = х/(х√5), то есть 2/х =1/√5.
Отсюда х = 2√5, высота пирамиды Н = 2х = 4√5.
Высота h = ВД = 3х =3*2√5 = 6√5.
Теперь находим сторону основания:
а = h/cos30° = 6√5/(√3/2) = 12√5/√3 = 4√15.
Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 =
= 16*15√3/4 = 4*15√3 = 60√3.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*4√5 = 80√15 ≈ 309,8387 куб.ед.