Дано уравнение 7х²(3х+2)-(27х³+8)=0.
Раскроем скобки и приведём подобные.
21х³ + 14х² - 27х³ - 8 = 0.
Получаем кубическое уравнение:
-6х³ + 14х² - 8 = 0 или, сократив на -2:
3х³ - 7х² + 4 = 0. Первый корень виден сразу: это х1 = 1.
Разделим уравнение на (х - 1):
3х³ - 7х² + 4 | x - 1
3х³ - 3х² 3х² - 4x - 4
-4х² + 4
-4х² + 4x
-4x + 4
-4x + 4
0
Полученный трёхчлен разложим на множители как квадратное уравнение: 3х² - 4x - 4 = 0.
Д = 16 + 4*3*4 = 16 + 48 = 64.
х2 = (4 - 8)/(2*3) = -4/6 = -2/3.
х3 = (4 + 8)/(2*3) = 12/6 = 2.
ответ: х1 = 1, х2 = (-2/3 ), х3 = 2.
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является
.
1)
— общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Применим метод Эйлера: сделаем замену
где 
— некоторая постоянная. Тогда 
Получили характеристическое уравнение:
Разделим обе части уравнения на
:
Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:
Тогда
Воспользуемся формулой Эйлера:
Фундаментальная система решений:
— функции линейно независимые, поскольку 
Общее решение:
2)
— частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции 
.
Здесь
, причем 
, поэтому частное решение имеет вид 
, где 
— неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Тогда
и 
подставим в исходное ЛНДР и найдем 
:
Разделим обе части уравнения на
Таким образом, частное решение:
Тогда общим решением исходного ЛНДР с постоянными коэффициентами:
ответ: