ответ: 324 см².
Пошаговое объяснение:
Дано:АВСД-трапеция, ∠А=90°, ВС=9 см, АВ=18 см, ∠Д=45°.
Найти: S АВСД.
Проведём СМ⊥АД.
АВСМ- прямоугольник,т.к. ВС║АМ по свойству оснований трапеции, СМ║АВ по свойству двух перпендикуляров, проведённых к одной прямой, ∠А=90° по условию; ⇒ СМ=АВ=18 см и АМ=ВС=9 см.
ΔСМД: ∠М=90°т.к. СМ⊥МД по построению, ∠Д=45° -по условию,
∠МСД=90°-45°=45° ⇒ΔСМД -равнобедренный по признаку и МД=СМ=18 см.
АД=АМ+МД=9+18=27 (см).
S АВСД= (ВС+АМ):2*СМ=(9+27):2*18=36:2*18=18*18=324 (см²).
Заметим следующее:
a ≡ b (mod k) ⇒ aⁿ ≡ bⁿ (mod k)
Доказывается это следующим образом:
Пусть b = tk + a, тогда разложим (tk + a)ⁿ по Биному Ньютона. Все слагаемые кроме aⁿ имеют множитель k, следовательно, делятся на k, из чего:
(tk + a)ⁿ ≡ aⁿ (mod k).
А кроме этого заметим, что:
a ≡ a - k (mod k).
При данных двух утверждений докажем исходную задачу:
1²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁹ + ... + 29²⁰¹⁹ + 30²⁰¹⁹ ≡₃₁ 1²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁹ + ... + 15²⁰¹⁹ + (-15)²⁰¹⁹ + ... + (-2)²⁰¹⁹ + (-1)²⁰¹⁹ ≡₃₁ 0.
Значит, данная сумма кратна 31.