Фу́га— музыкальная форма, являющаяся наивысшим достижением полифонической музыки. В фуге присутствует несколько голосов, каждый из которых в соответствии со строгими правилами повторяет, в основном или изменённом виде, тему — короткую мелодию, проходящую через всю фугу.
Первая нота темы - ре (выделено красным) - находится на пятой ступени (доминанты). При реальном ответе она модулировала бы в ля (ступень двойной доминанты). В тональном же ответе она преобразуется в соль (ступень тоники - выделено синим).
Пусть наша последовательность из чисел Пусть мы уменьшим разность на , тогда по первой сумме получаем так как принадлежит только целым числам то должен быть так же целым где целое число этот вариант не подходит так как выходит то что в последовательности только единственный член . Для того что бы из под корня был целое число , необходимо что бы сами сомножители были квадратами каких то чисел, очевидно подходит , заметим так же что чем больше тем меньше членов в последовательности. То есть Тогда Посмотрим по второй сумме подставляя в сумму получаем подставляя окончательно убеждаемся что
, тогда 
принадлежит только целым числам то 
должен быть так же целым 
где 
целое число 
, заметим так же что чем больше 
тем меньше членов в последовательности. То есть 
